ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 38.21 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{2\cdot 3^n+3\cdot 4^n}{2^n-6\cdot 4^n}$

б) ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{3\cdot 5^n-7\cdot 4^n}{2^n+6\cdot 5^n}$

а) $\lim_{n \to \infty} \frac{2 \cdot 3^n + 3 \cdot 4^n}{2^n — 6 \cdot 4^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^n + 3}{\left( \frac{2}{4} \right)^n — 6} = \frac{2 \cdot 0 + 3}{0 — 6} = \frac{3}{-6} = -\frac{1}{2}$;

Ответ: $-\frac{1}{2}$.

б) $\lim_{n \to \infty} \frac{3 \cdot 5^n — 7 \cdot 4^n}{2^n + 6 \cdot 5^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{3 — 7 \cdot \left( \frac{4}{5} \right)^n}{\left( \frac{2}{5} \right)^n + 6} = \frac{3 — 7 \cdot 0}{0 + 6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$;

Ответ: $\frac{1}{2}$.

а) $\lim_{n \to \infty} \frac{2 \cdot 3^n + 3 \cdot 4^n}{2^n — 6 \cdot 4^n}$

Общий вид выражения:
Рассмотрим предел

$$\lim_{n \to \infty} \frac{2 \cdot 3^n + 3 \cdot 4^n}{2^n — 6 \cdot 4^n}.$$

Рассмотрим поведение каждого из членов при $n \to \infty$:
В числителе у нас выражение $2 \cdot 3^n + 3 \cdot 4^n$, в котором $3^n$ и $4^n$ растут экспоненциально, но $4^n$ растет быстрее, так как основание больше. В знаменателе у нас выражение $2^n — 6 \cdot 4^n$, в котором $2^n$ растет медленно по сравнению с $4^n$, которое также растет быстрее, чем $2^n$.

Следовательно, с ростом $n$ наибольшее влияние будет оказывать $4^n$ как в числителе, так и в знаменателе. Чтобы более точно проанализировать поведение этого выражения, давайте разделим числитель и знаменатель на $4^n$.

Поделим числитель и знаменатель на $4^n$:

$$\frac{2 \cdot 3^n + 3 \cdot 4^n}{2^n — 6 \cdot 4^n} = \frac{2 \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^n + 3}{\left( \frac{2}{4} \right)^n — 6}.$$

Анализируем предел каждого члена:

• $\left( \frac{3}{4} \right)^n \to 0$ при $n \to \infty$, так как $\frac{3}{4} < 1$.
• $\left( \frac{2}{4} \right)^n = \left( \frac{1}{2} \right)^n \to 0$ при $n \to \infty$, так как $\frac{1}{2} < 1$.

Таким образом, при $n \to \infty$ числитель стремится к:

$$2 \cdot 0 + 3 = 3,$$

а знаменатель стремится к:

$$0 — 6 = -6.$$

Вычисляем предел:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{3}{-6} = -\frac{1}{2}.$$

Ответ: $-\frac{1}{2}$.

б) $\lim_{n \to \infty} \frac{3 \cdot 5^n — 7 \cdot 4^n}{2^n + 6 \cdot 5^n}$

Общий вид выражения:
Рассмотрим предел

$$\lim_{n \to \infty} \frac{3 \cdot 5^n — 7 \cdot 4^n}{2^n + 6 \cdot 5^n}.$$

Рассмотрим поведение каждого из членов при $n \to \infty$:
В числителе у нас выражение $3 \cdot 5^n — 7 \cdot 4^n$, в котором $5^n$ растет быстрее, чем $4^n$, так как основание больше. В знаменателе у нас выражение $2^n + 6 \cdot 5^n$, где $5^n$ снова растет быстрее, чем $2^n$.

Таким образом, наибольшее влияние будет оказывать $5^n$ как в числителе, так и в знаменателе. Чтобы более точно проанализировать поведение этого выражения, давайте разделим числитель и знаменатель на $5^n$.

Поделим числитель и знаменатель на $5^n$:

$$\frac{3 \cdot 5^n — 7 \cdot 4^n}{2^n + 6 \cdot 5^n} = \frac{3 — 7 \cdot \left( \frac{4}{5} \right)^n}{\left( \frac{2}{5} \right)^n + 6}.$$

Анализируем предел каждого члена:

• $\left( \frac{4}{5} \right)^n \to 0$ при $n \to \infty$, так как $\frac{4}{5} < 1$.
• $\left( \frac{2}{5} \right)^n \to 0$ при $n \to \infty$, так как $\frac{2}{5} < 1$.

Таким образом, при $n \to \infty$ числитель стремится к:

$$3 — 7 \cdot 0 = 3,$$

а знаменатель стремится к:

$$0 + 6 = 6.$$

Вычисляем предел:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{3}{6} = \frac{1}{2}.$$

Ответ: $\frac{1}{2}$.