ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 38.22 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите сумму геометрической прогрессии ($b_{\mathrm{n}}$) , если:

а) $b_1 = 3$, $q = \frac{1}{3}$;

б) $b_1 = -5$, $q = -0,1$;

в) $b_1 = -1$, $q = 0,2$;

г) $b_1 = 2$, $q = -\frac{1}{3}$

а) $b_1 = 3$ и $q = \frac{1}{3}$;

$$S = \frac{b_1}{1 — q} = 3 : \left(1 — \frac{1}{3}\right) = 3 : \frac{2}{3} = 3 \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{2} = 4,5;$$

Ответ: 4,5.

б) $b_1 = -5$ и $q = -0,1$;

$$S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{-5}{1 + 0,1} = -\frac{5}{1,1} = -\frac{50}{11} = -4 \frac{6}{11};$$

Ответ: $-4 \frac{6}{11}$.

в) $b_1 = -1$ и $q = 0,2$;

$$S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{-1}{1 — 0,2} = -\frac{1}{0,8} = -\frac{10}{8} = -\frac{5}{4} = -1,25;$$

Ответ: $-1,25$.

г) $b_1 = 2$ и $q = -\frac{1}{3}$;

$$S = \frac{b_1}{1 — q} = 2 : \left(1 + \frac{1}{3}\right) = 2 : \frac{4}{3} = 2 \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{2} = 1,5;$$

Ответ: 1,5.

а) $b_1 = 3$ и $q = \frac{1}{3}$

Общее выражение для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
Для геометрической прогрессии с первым элементом $b_1$ и знаменателем $q$ сумма всех её членов (если $|q| < 1$) вычисляется по формуле:

$$S = \frac{b_1}{1 — q}.$$

Подставляем значения $b_1$ и $q$:
В данном случае $b_1 = 3$ и $q = \frac{1}{3}$. Подставляем эти значения в формулу для суммы:

$$S = \frac{3}{1 — \frac{1}{3}}.$$

Вычисление знаменателя:
В знаменателе $1 — \frac{1}{3}$ приводим к общему знаменателю:

$$1 — \frac{1}{3} = \frac{3}{3} — \frac{1}{3} = \frac{2}{3}.$$

Деление на дробь:
Теперь заменим в формуле:

$$S = \frac{3}{\frac{2}{3}}.$$

Чтобы разделить на дробь, умножим на её обратную:

$$S = 3 \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{2}.$$

Ответ:
Преобразуем результат:

$$\frac{9}{2} = 4,5.$$

Ответ: $4,5$.

б) $b_1 = -5$ и $q = -0,1$

Используем ту же формулу для суммы геометрической прогрессии:
Для суммы геометрической прогрессии, где $b_1 = -5$ и $q = -0,1$, применяем формулу:

$$S = \frac{b_1}{1 — q}.$$

Подставляем значения $b_1$ и $q$:

$$S = \frac{-5}{1 — (-0,1)} = \frac{-5}{1 + 0,1} = \frac{-5}{1,1}.$$

Преобразование дроби:
Чтобы упростить дробь $\frac{-5}{1,1}$, умножим числитель и знаменатель на 10 (чтобы избавиться от десятичной дроби):

$$\frac{-5}{1,1} = \frac{-5 \cdot 10}{1,1 \cdot 10} = \frac{-50}{11}.$$

Ответ:
Дробь $\frac{-50}{11}$ можно представить в виде смешанного числа:

$$-\frac{50}{11} = -4 \frac{6}{11}.$$

Ответ: $-4 \frac{6}{11}$.

в) $b_1 = -1$ и $q = 0,2$

Применяем формулу для суммы геометрической прогрессии:
Сначала используем формулу для суммы:

$$S = \frac{b_1}{1 — q}.$$

Подставляем значения $b_1$ и $q$:
В данном случае $b_1 = -1$ и $q = 0,2$, подставляем эти значения в формулу:

$$S = \frac{-1}{1 — 0,2} = \frac{-1}{0,8}.$$

Упрощаем дробь:
Чтобы упростить дробь $\frac{-1}{0,8}$, умножим числитель и знаменатель на 10:

$$\frac{-1}{0,8} = \frac{-1 \cdot 10}{0,8 \cdot 10} = \frac{-10}{8} = -\frac{10}{8}.$$

Далее сокращаем дробь на 2:

$$-\frac{10}{8} = -\frac{5}{4}.$$

Ответ:
$-\frac{5}{4}$ — это несмешанное дробное число, и в десятичной форме оно будет равно:

$$-\frac{5}{4} = -1,25.$$

Ответ: $-1,25$.

г) $b_1 = 2$ и $q = -\frac{1}{3}$

Используем формулу для суммы геометрической прогрессии:
В данном случае, где $b_1 = 2$ и $q = -\frac{1}{3}$, применяем формулу:

$$S = \frac{b_1}{1 — q}.$$

Подставляем значения $b_1$ и $q$:
Подставляем $b_1 = 2$ и $q = -\frac{1}{3}$ в формулу:

$$S = \frac{2}{1 — \left(-\frac{1}{3}\right)} = \frac{2}{1 + \frac{1}{3}}.$$

Приводим к общему знаменателю:
В знаменателе $1 + \frac{1}{3}$ приводим к общему знаменателю:

$$1 + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}.$$

Деление на дробь:
Теперь заменим в формуле:

$$S = \frac{2}{\frac{4}{3}}.$$

Чтобы разделить на дробь, умножим на её обратную:

$$S = 2 \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{4}.$$

Упрощение:
Упрощаем дробь:

$$\frac{6}{4} = \frac{3}{2}.$$

Ответ:
$\frac{3}{2} = 1,5$.

Ответ: $1,5$.

Итоговые ответы:

а) $4,5$

б) $-4 \frac{6}{11}$

в) $-1,25$

г) $1,5$