ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 38.24 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите знаменатель и сумму геометрической прогрессии ($b_{\mathrm{n}}$), если:

а) $b_1=-2$ и $b_2=1$;

б) $b_1=3$ и $b_2=\frac{1}{3}$;

в) $b_1=7$ и $b_2=-1$;

г) $b_1=-20$ и $b_2=4$

а) $b_1=-2$ и $b_2=1$;

$$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{1}{-2}=-0,5;$$$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{-2}{1+0,5}=\frac{-2}{1,5}=-\frac{4}{3}=-1\frac{1}{3};$$

Ответ: $q=-0,5$; $S=-1\frac{1}{3}$.

б) $b_1=3$ и $b_2=\frac{1}{3}$;

$$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{\frac{1}{3}}{3}=\frac{1}{9};$$$$S=\frac{b_1}{1-q}=3:(1-\frac{1}{9})=3:\frac{8}{9}=3\cdot \frac{9}{8}=\frac{27}{8}=3\frac{3}{8};$$

Ответ: $q=\frac{1}{9}$; $S=3\frac{3}{8}$.

в) $b_1=7$ и $b_2=-1$;

$$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{-1}{7}=-\frac{1}{7};$$$$S=\frac{b_1}{1-q}=7:(1+\frac{1}{7})=7:\frac{8}{7}=7\cdot \frac{7}{8}=\frac{49}{8}=6\frac{1}{8};$$

Ответ: $q=-\frac{1}{7}$; $S=6\frac{1}{8}$.

г) $b_1=-20$ и $b_2=4$;

$$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{4}{-20}=-\frac{1}{5}=-0,2;$$$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{-20}{1+0,2}=\frac{-20}{1,2}=-\frac{100}{6}=-16\frac{4}{6}=-16\frac{2}{3};$$

Ответ: $q=-0,2$; $S=-16\frac{2}{3}$.

а) $b_1=-2$ и $b_2=1$

Анализ последовательности:
Мы имеем геометрическую прогрессию, где:

• Первый элемент $b_1=-2$,
• Второй элемент $b_2=1$.

Мы можем использовать известную формулу для вычисления знаменателя прогрессии $q$, который определяется как отношение второго элемента к первому:

$$q=\frac{b_2}{b_1}\mathrm{.}$$

Вычисление знаменателя прогрессии $q$:
Подставляем значения:

$$q=\frac{1}{-2}=-0,5.$$

Таким образом, знаменатель прогрессии равен $q=-0,5$.

Формула для суммы геометрической прогрессии:
Для вычисления суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым элементом $b_1$ и знаменателем $q$ (при условии, что $\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }<1$), используется формула:

$$S=\frac{b_1}{1-q}\mathrm{.}$$

Подставляем значения $b_1$ и $q$ в формулу для суммы:
Подставим $b_1=-2$ и $q=-0,5$ в формулу для суммы:

$$S=\frac{-2}{1-(-0,5)}=\frac{-2}{1+0,5}=\frac{-2}{1,5}\mathrm{.}$$

Вычисление результата:
Чтобы упростить дробь, делим:

$$S=\frac{-2}{1,5}=-\frac{2}{1,5}=-\frac{4}{3}\mathrm{.}$$

Преобразуем в смешанное число:

$$-\frac{4}{3}=-1\frac{1}{3}\mathrm{.}$$

Ответ:
Ответ для данной прогрессии:

$$q=-0,5\text{и}S=-1\frac{1}{3}\mathrm{.}$$

б) $b_1=3$ и $b_2=\frac{1}{3}$

Анализ последовательности:
У нас также геометрическая прогрессия, где:

• Первый элемент $b_1=3$,
• Второй элемент $b_2=\frac{1}{3}$.

Вычисление знаменателя прогрессии $q$:
Знаменатель прогрессии $q$ вычисляется как отношение второго элемента к первому:

$$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{\frac{1}{3}}{3}=\frac{1}{9}\mathrm{.}$$

Таким образом, $q=\frac{1}{9}$.

Формула для суммы геометрической прогрессии:
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым элементом $b_1$ и знаменателем $q$ (где $\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }<1$) вычисляется по формуле:

$$S=\frac{b_1}{1-q}\mathrm{.}$$

Подставляем значения $b_1$ и $q$ в формулу для суммы:
Подставляем $b_1=3$ и $q=\frac{1}{9}$ в формулу:

$$S=\frac{3}{1-\frac{1}{9}}=\frac{3}{\frac{8}{9}}\mathrm{.}$$

Вычисление результата:
Чтобы разделить на дробь, умножаем на её обратную:

$$S=3\cdot \frac{9}{8}=\frac{27}{8}\mathrm{.}$$

Преобразуем в смешанное число:

$$\frac{27}{8}=3\frac{3}{8}\mathrm{.}$$

Ответ:
Ответ для данной прогрессии:

$$q=\frac{1}{9}\text{и}S=3\frac{3}{8}\mathrm{.}$$

в) $b_1=7$ и $b_2=-1$

Анализ последовательности:
У нас снова геометрическая прогрессия, где:

• Первый элемент $b_1=7$,
• Второй элемент $b_2=-1$.

Вычисление знаменателя прогрессии $q$:
Знаменатель прогрессии $q$ вычисляется как отношение второго элемента к первому:

$$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{-1}{7}=-\frac{1}{7}\mathrm{.}$$

Таким образом, $q=-\frac{1}{7}$.

Формула для суммы геометрической прогрессии:
Для вычисления суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым элементом $b_1$ и знаменателем $q$ (где $\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }<1$) используется формула:

$$S=\frac{b_1}{1-q}\mathrm{.}$$

Подставляем значения $b_1$ и $q$ в формулу для суммы:
Подставляем $b_1=7$ и $q=-\frac{1}{7}$ в формулу:

$$S=\frac{7}{1-(-\frac{1}{7})}=\frac{7}{1+\frac{1}{7}}=\frac{7}{\frac{8}{7}}\mathrm{.}$$

Вычисление результата:
Чтобы разделить на дробь, умножаем на её обратную:

$$S=7\cdot \frac{7}{8}=\frac{49}{8}\mathrm{.}$$

Преобразуем в смешанное число:

$$\frac{49}{8}=6\frac{1}{8}\mathrm{.}$$

Ответ:
Ответ для данной прогрессии:

$$q=-\frac{1}{7}\text{и}S=6\frac{1}{8}\mathrm{.}$$

г) $b_1=-20$ и $b_2=4$

Анализ последовательности:
У нас геометрическая прогрессия, где:

• Первый элемент $b_1=-20$,
• Второй элемент $b_2=4$.

Вычисление знаменателя прогрессии $q$:
Знаменатель прогрессии $q$ вычисляется как отношение второго элемента к первому:

$$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{4}{-20}=-\frac{1}{5}=-0,2.$$

Таким образом, $q=-0,2$.

Формула для суммы геометрической прогрессии:
Для вычисления суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым элементом $b_1$ и знаменателем $q$ (где $\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }<1$) используется формула:

$$S=\frac{b_1}{1-q}\mathrm{.}$$

Подставляем значения $b_1$ и $q$ в формулу для суммы:
Подставляем $b_1=-20$ и $q=-0,2$ в формулу:

$$S=\frac{-20}{1-(-0,2)}=\frac{-20}{1+0,2}=\frac{-20}{1,2}\mathrm{.}$$

Вычисление результата:
Чтобы упростить дробь, делим:

$$S=\frac{-20}{1,2}=-\frac{20}{1,2}=-\frac{100}{6}\mathrm{.}$$

Преобразуем в смешанное число:

$$-\frac{100}{6}=-16\frac{4}{6}=-16\frac{2}{3}\mathrm{.}$$

Ответ:
Ответ для данной прогрессии:

$$q=-0,2\text{и}S=-16\frac{2}{3}\mathrm{.}$$

Итоговые ответы:

а) $q=-0,5$; $S=-1\frac{1}{3}$

б) $q=\frac{1}{9}$; $S=3\frac{3}{8}$

в) $q=-\frac{1}{7}$; $S=6\frac{1}{8}$

г) $q=-0,2$; $S=-16\frac{2}{3}$