ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 38.25 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите знаменатель геометрической прогрессии ($b_{\mathrm{n}}$), если:

а) $S = 2$, $b_1 = 3$;

б) $S = -10$, $b_1 = -5$;

в) $S = -\frac{9}{4}$, $b_1 = -3$;

г) $S = 1,5$, $b_1 = 2$

Напишем формулу для нахождения знаменателя геометрической прогрессии по ее сумме и первому члену:

$$S = \frac{b_1}{1 — q} \quad => \quad S(1 — q) = b_1 \quad => \quad S — Sq = b_1;$$ $$S — b_1 = Sq \quad => \quad q = \frac{S — b_1}{S} \quad => \quad q = 1 — \frac{b_1}{S};$$

а) $S = 2$ и $b_1 = 3$;

$$q = 1 — \frac{3}{2} = \frac{2}{2} — \frac{3}{2} = -\frac{1}{2} = -0,5;$$

Ответ: $-0,5$.

б) $S = -10$ и $b_1 = -5$;

$$q = 1 — \frac{-5}{-10} = 1 — 0,5 = 0,5;$$

Ответ: $0,5$.

в) $S = -\frac{9}{4}$ и $b_1 = -3$;

$$q = 1 — (-3) : \left(-\frac{9}{4}\right) = 1 — 3 \cdot \frac{4}{9} = \frac{3}{3} — \frac{4}{3} = -\frac{1}{3};$$

Ответ: $-\frac{1}{3}$.

г) $S = 1,5$ и $b_1 = 2$;

$$q = 1 — \frac{2}{1,5} = 1 — \frac{4}{3} = \frac{3}{3} — \frac{4}{3} = -\frac{1}{3};$$

Ответ: $-\frac{1}{3}$.

Геометрическая прогрессия имеет следующий вид:

$$b_1, b_2, b_3, \ldots,$$

где $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии (константа, на которую каждый член умножается, чтобы получить следующий). Если прогрессия бесконечная и её сумма $S$ существует (при условии, что $|q| < 1$), то сумма прогрессии вычисляется по формуле:

$$S = \frac{b_1}{1 — q}.$$

Для нахождения знаменателя $q$ по известной сумме $S$ и первому члену $b_1$, можно решить эту формулу относительно $q$.

Пошаговое решение:

Начальная формула для суммы прогрессии:

$$S = \frac{b_1}{1 — q}.$$

Умножим обе части уравнения на $1 — q$:

$$S(1 — q) = b_1.$$

Раскроем скобки:

$$S — Sq = b_1.$$

Переносим все элементы с $q$ на одну сторону:

$$S — b_1 = Sq.$$

Разделим обе стороны на $S$ для того, чтобы выразить $q$:

$$q = \frac{S — b_1}{S}.$$

Упростим выражение:

$$q = 1 — \frac{b_1}{S}.$$

Теперь мы имеем формулу для вычисления знаменателя $q$ по известной сумме $S$ и первому члену $b_1$:

$$q = 1 — \frac{b_1}{S}.$$

Теперь применим эту формулу для конкретных примеров.

а) $S = 2$ и $b_1 = 3$

Подставим значения $S = 2$ и $b_1 = 3$ в формулу для $q$:

$$q = 1 — \frac{3}{2}.$$

Вычислим:

$$q = 1 — 1,5 = -0,5.$$

Ответ: $q = -0,5$.

б) $S = -10$ и $b_1 = -5$

Подставим значения $S = -10$ и $b_1 = -5$ в формулу для $q$:

$$q = 1 — \frac{-5}{-10}.$$

Вычислим:

$$q = 1 — \frac{5}{10} = 1 — 0,5 = 0,5.$$

Ответ: $q = 0,5$.

в) $S = -\frac{9}{4}$ и $b_1 = -3$

Подставим значения $S = -\frac{9}{4}$ и $b_1 = -3$ в формулу для $q$:

$$q = 1 — \frac{-3}{-\frac{9}{4}}.$$

Упростим дробь:

$$q = 1 — 3 \cdot \frac{4}{9}.$$

Вычислим:

$$q = 1 — \frac{12}{9} = \frac{3}{3} — \frac{4}{3} = -\frac{1}{3}.$$

Ответ: $q = -\frac{1}{3}$.

г) $S = 1,5$ и $b_1 = 2$

Подставим значения $S = 1,5$ и $b_1 = 2$ в формулу для $q$:

$$q = 1 — \frac{2}{1,5}.$$

Упростим дробь:

$$q = 1 — \frac{4}{3}.$$

Вычислим:

$$q = \frac{3}{3} — \frac{4}{3} = -\frac{1}{3}.$$

Ответ: $q = -\frac{1}{3}$.

Итоговые ответы:

а) $q = -0,5$

б) $q = 0,5$

в) $q = -\frac{1}{3}$

г) $q = -\frac{1}{3}$