ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 38.27 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите n-й член геометрической прогрессии ($b_{\mathrm{n}}$), если:

а) $S = 15$, $q = -\frac{1}{3}$, $n = 3$;

б) $S = -20$, $b_1 = -16$, $n = 4$;

в) $S = 20$, $b_1 = 22$, $n = 4$;

г) $S = 21$, $q = \frac{2}{3}$, $n = 3$

а) $S = 15$, $q = -\frac{1}{3}$ и $n = 3$;

$b_1 = S(1 — q) = 15 \left(1 + \frac{1}{3}\right) = 15 \cdot \frac{4}{3} = 20$;

$b_3 = b_1 \cdot q^2 = 20 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = 20 \cdot \frac{1}{9} = 2 \frac{2}{9}$;

Ответ: $2 \frac{2}{9}$.

б) $S = -20$, $b_1 = -16$ и $n = 4$;

$q = 1 — \frac{b_1}{S} = 1 — \frac{-16}{-20} = 1 — \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$;

$b_4 = b_1 \cdot q^3 = -16 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^3 = -16 \cdot \frac{1}{125} = -0,128$;

Ответ: $-0,128$.

в) $S = 20$, $b_1 = 22$ и $n = 4$;

$q = 1 — \frac{b_1}{S} = 1 — \frac{22}{20} = 1 — \frac{11}{10} = -0,1$;

$b_4 = b_1 \cdot q^3 = 22 \cdot (-0,1)^3 = 22 \cdot (-0,001) = -0,022$;

Ответ: $-0,022$.

г) $S = 21$, $q = \frac{2}{3}$ и $n = 3$;

$b_1 = S(1 — q) = 21 \left(1 — \frac{2}{3}\right) = 21 \cdot \frac{1}{3} = 7$;

$b_3 = b_1 \cdot q^2 = 7 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 7 \cdot \frac{4}{9} = \frac{28}{9} = 3 \frac{1}{9}$;

Ответ: $3 \frac{1}{9}$.

а) $S = 15$, $q = -\frac{1}{3}$ и $n = 3$

Шаг 1: Нахождение первого члена прогрессии $b_1$

Мы используем формулу для нахождения первого члена геометрической прогрессии через её сумму $S$ и знаменатель $q$:

$$b_1 = S(1 — q).$$

Подставим известные значения:

$$b_1 = 15 \left( 1 + \frac{1}{3} \right) = 15 \cdot \frac{4}{3}.$$

Теперь выполним умножение:

$$b_1 = \frac{15 \cdot 4}{3} = \frac{60}{3} = 20.$$

Таким образом, первый член прогрессии $b_1 = 20$.

Шаг 2: Нахождение третьего члена прогрессии $b_3$

Третий член прогрессии можно найти по формуле:

$$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}.$$

Для $n = 3$, эта формула становится:

$$b_3 = b_1 \cdot q^2.$$

Подставим значения:

$$b_3 = 20 \cdot \left( -\frac{1}{3} \right)^2.$$

Теперь вычислим:

$$b_3 = 20 \cdot \frac{1}{9} = \frac{20}{9}.$$

Преобразуем дробь в смешанное число:

$$\frac{20}{9} = 2 \frac{2}{9}.$$

Таким образом, $b_3 = 2 \frac{2}{9}$.

Ответ: $b_3 = 2 \frac{2}{9}$.

б) $S = -20$, $b_1 = -16$ и $n = 4$

Шаг 1: Нахождение знаменателя прогрессии $q$

Используем формулу для нахождения знаменателя прогрессии:

$$q = 1 — \frac{b_1}{S}.$$

Подставляем известные значения:

$$q = 1 — \frac{-16}{-20} = 1 — \frac{4}{5}.$$

Выполним вычитание:

$$q = \frac{5}{5} — \frac{4}{5} = \frac{1}{5}.$$

Таким образом, $q = \frac{1}{5}$.

Шаг 2: Нахождение четвёртого члена прогрессии $b_4$

Четвёртый член прогрессии можно найти по формуле:

$$b_4 = b_1 \cdot q^3.$$

Подставим известные значения:

$$b_4 = -16 \cdot \left( \frac{1}{5} \right)^3 = -16 \cdot \frac{1}{125}.$$

Выполним умножение:

$$b_4 = -\frac{16}{125} = -0,128.$$

Ответ: $b_4 = -0,128$.

в) $S = 20$, $b_1 = 22$ и $n = 4$

Шаг 1: Нахождение знаменателя прогрессии $q$

Используем ту же формулу для нахождения знаменателя:

$$q = 1 — \frac{b_1}{S}.$$

Подставляем известные значения:

$$q = 1 — \frac{22}{20} = 1 — \frac{11}{10} = -0,1.$$

Таким образом, $q = -0,1$.

Шаг 2: Нахождение четвёртого члена прогрессии $b_4$

Четвёртый член прогрессии можно найти по формуле:

$$b_4 = b_1 \cdot q^3.$$

Подставим известные значения:

$$b_4 = 22 \cdot (-0,1)^3 = 22 \cdot (-0,001).$$

Выполним умножение:

$$b_4 = -0,022.$$

Ответ: $b_4 = -0,022$.

г) $S = 21$, $q = \frac{2}{3}$ и $n = 3$

Шаг 1: Нахождение первого члена прогрессии $b_1$

Используем формулу для первого члена прогрессии:

$$b_1 = S(1 — q).$$

Подставляем известные значения:

$$b_1 = 21 \left( 1 — \frac{2}{3} \right) = 21 \cdot \frac{1}{3}.$$

Выполним умножение:

$$b_1 = 7.$$

Таким образом, $b_1 = 7$.

Шаг 2: Нахождение третьего члена прогрессии $b_3$

Третий член прогрессии можно найти по формуле:

$$b_3 = b_1 \cdot q^2.$$

Подставим известные значения:

$$b_3 = 7 \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^2 = 7 \cdot \frac{4}{9}.$$

Выполним умножение:

$$b_3 = \frac{28}{9}.$$

Преобразуем дробь в смешанное число:

$$\frac{28}{9} = 3 \frac{1}{9}.$$

Ответ: $b_3 = 3 \frac{1}{9}$.

Итоговые ответы:

а) $b_3 = 2 \frac{2}{9}$

б) $b_4 = -0,128$

в) $b_4 = -0,022$

г) $b_3 = 3 \frac{1}{9}$