ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 38.28 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите сумму геометрической прогрессии ($b_{\mathrm{n}}$), если:

а) $b_n = \frac{25}{3^n}$;

б) $b_n = (-1)^n \cdot \frac{13}{2^{n-1}}$;

в) $b_n = \frac{45}{3^n}$;

г) $b_n = (-1)^{n-1} \cdot \frac{7}{6^{n-2}}$

а) $b_n = \frac{25}{3^n}$;

$b_1 = \frac{25}{3}$ и $b_2 = \frac{25}{3^2} = \frac{25}{9}$;

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\frac{25}{9}}{\frac{25}{3}} = \frac{25}{9} \cdot \frac{3}{25} = \frac{1}{3}$;

$S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{\frac{25}{3}}{1 — \frac{1}{3}} = \frac{\frac{25}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{25}{3} \cdot \frac{3}{2} = 12,5$;

Ответ: $12,5$.

б) $b_n = (-1)^n \cdot \frac{13}{2^{n-1}}$;

$b_1 = (-1)^1 \cdot \frac{13}{2^0} = -13$ и $b_2 = (-1)^2 \cdot \frac{13}{2} = \frac{13}{2}$;

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\frac{13}{2}}{-13} = \frac{13}{2} \cdot \frac{-1}{13} = -\frac{1}{2}$;

$S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{-13}{1 — (-\frac{1}{2})} = \frac{-13}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{-13}{\frac{3}{2}} = -13 \cdot \frac{2}{3} = -\frac{26}{3} = -8 \frac{2}{3}$;

Ответ: $-8 \frac{2}{3}$.

в) $b_n = \frac{45}{3^n}$;

$b_1 = \frac{45}{3}$ и $b_2 = \frac{45}{3^2} = \frac{45}{9}$;

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\frac{45}{9}}{\frac{45}{3}} = \frac{45}{9} \cdot \frac{3}{45} = \frac{1}{3}$;

$S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{\frac{45}{3}}{1 — \frac{1}{3}} = \frac{\frac{45}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{45}{3} \cdot \frac{3}{2} = 22,5$;

Ответ: $22,5$.

г) $b_n = (-1)^{n-1} \cdot \frac{7}{6^{n-2}}$;

$b_1 = (-1)^0 \cdot \frac{7}{6^{-1}} = 7 \cdot 6 = 42$ и $b_2 = (-1)^1 \cdot \frac{7}{6^0} = -7$;

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-7}{42} = -\frac{1}{6}$;

$S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{42}{1 — (-\frac{1}{6})} = \frac{42}{1 + \frac{1}{6}} = \frac{42}{\frac{7}{6}} = 42 \cdot \frac{6}{7} = 6 \cdot 6 = 36$;

Ответ: $36$.

а) $b_n = \frac{25}{3^n}$

Первый элемент прогрессии $b_1$:

В данном случае, для геометрической прогрессии:

$$b_n = \frac{25}{3^n}.$$

Подставим $n = 1$:

$$b_1 = \frac{25}{3^1} = \frac{25}{3}.$$

Второй элемент прогрессии $b_2$:

Теперь подставим $n = 2$:

$$b_2 = \frac{25}{3^2} = \frac{25}{9}.$$

Знаменатель прогрессии $q$:

Знаменатель прогрессии $q$ можно найти как отношение второго члена к первому:

$$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\frac{25}{9}}{\frac{25}{3}}.$$

Умножаем дроби:

$$q = \frac{25}{9} \cdot \frac{3}{25} = \frac{1}{3}.$$

Таким образом, $q = \frac{1}{3}$.

Сумма прогрессии $S$:

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$ (где $|q| < 1$) вычисляется по формуле:

$$S = \frac{b_1}{1 — q}.$$

Подставим значения $b_1 = \frac{25}{3}$ и $q = \frac{1}{3}$:

$$S = \frac{\frac{25}{3}}{1 — \frac{1}{3}} = \frac{\frac{25}{3}}{\frac{2}{3}}.$$

Чтобы разделить на дробь, умножим на её обратную:

$$S = \frac{25}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{25 \cdot 3}{3 \cdot 2} = \frac{75}{6} = 12,5.$$

Ответ: $S = 12,5$.

б) $b_n = (-1)^n \cdot \frac{13}{2^{n-1}}$

Первый элемент прогрессии $b_1$:

Подставляем $n = 1$:

$$b_1 = (-1)^1 \cdot \frac{13}{2^{1-1}} = (-1)^1 \cdot \frac{13}{2^0} = -13.$$

Второй элемент прогрессии $b_2$:

Подставляем $n = 2$:

$$b_2 = (-1)^2 \cdot \frac{13}{2^{2-1}} = 1 \cdot \frac{13}{2} = \frac{13}{2}.$$

Знаменатель прогрессии $q$:

Знаменатель прогрессии $q$ можно найти как отношение второго члена к первому:

$$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\frac{13}{2}}{-13} = \frac{13}{2} \cdot \frac{-1}{13} = -\frac{1}{2}.$$

Таким образом, $q = -\frac{1}{2}$.

Сумма прогрессии $S$:

Сумма геометрической прогрессии с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$ (где $|q| < 1$) вычисляется по формуле:

$$S = \frac{b_1}{1 — q}.$$

Подставим $b_1 = -13$ и $q = -\frac{1}{2}$:

$$S = \frac{-13}{1 — \left(-\frac{1}{2}\right)} = \frac{-13}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{-13}{\frac{3}{2}}.$$

Чтобы разделить на дробь, умножим на её обратную:

$$S = -13 \cdot \frac{2}{3} = -\frac{26}{3} = -8 \frac{2}{3}.$$

Ответ: $S = -8 \frac{2}{3}$.

в) $b_n = \frac{45}{3^n}$

Первый элемент прогрессии $b_1$:

Подставляем $n = 1$:

$$b_1 = \frac{45}{3^1} = \frac{45}{3} = 15.$$

Второй элемент прогрессии $b_2$:

Подставляем $n = 2$:

$$b_2 = \frac{45}{3^2} = \frac{45}{9} = 5.$$

Знаменатель прогрессии $q$:

Знаменатель прогрессии $q$ можно найти как отношение второго члена к первому:

$$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}.$$

Таким образом, $q = \frac{1}{3}$.

Сумма прогрессии $S$:

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$ (где $|q| < 1$) вычисляется по формуле:

$$S = \frac{b_1}{1 — q}.$$

Подставим $b_1 = 15$ и $q = \frac{1}{3}$:

$$S = \frac{15}{1 — \frac{1}{3}} = \frac{15}{\frac{2}{3}}.$$

Чтобы разделить на дробь, умножим на её обратную:

$$S = 15 \cdot \frac{3}{2} = \frac{45}{2} = 22,5.$$

Ответ: $S = 22,5$.

г) $b_n = (-1)^{n-1} \cdot \frac{7}{6^{n-2}}$

Первый элемент прогрессии $b_1$:

Подставляем $n = 1$:

$$b_1 = (-1)^{1-1} \cdot \frac{7}{6^{1-2}} = (-1)^0 \cdot \frac{7}{6^{-1}} = 1 \cdot 7 \cdot 6 = 42.$$

Второй элемент прогрессии $b_2$:

Подставляем $n = 2$:

$$b_2 = (-1)^{2-1} \cdot \frac{7}{6^{2-2}} = (-1)^1 \cdot \frac{7}{6^0} = -1 \cdot 7 = -7.$$

Знаменатель прогрессии $q$:

Знаменатель прогрессии $q$ можно найти как отношение второго члена к первому:

$$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-7}{42} = -\frac{1}{6}.$$

Сумма прогрессии $S$:

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$ (где $|q| < 1$) вычисляется по формуле:

$$S = \frac{b_1}{1 — q}.$$

Подставим $b_1 = 42$ и $q = -\frac{1}{6}$:

$$S = \frac{42}{1 — \left(-\frac{1}{6}\right)} = \frac{42}{1 + \frac{1}{6}} = \frac{42}{\frac{7}{6}}.$$

Чтобы разделить на дробь, умножим на её обратную:

$$S = 42 \cdot \frac{6}{7} = 6 \cdot 6 = 36.$$

Ответ: $S = 36$.

Итоговые ответы:

а) $S = 12,5$

б) $S = -8 \frac{2}{3}$

в) $S = 22,5$

г) $S = 36$