ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 38.30 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

a) Найдите геометрическую прогрессию, если известно, что ее сумма равна 24, а сумма первых трех членов равна 21.

б) Найдите седьмой член геометрической прогрессии, если известно, что ее сумма равна 31,25, а сумма первых трех членов равна 31.

а) Найти геометрическую прогрессию, если:

$S = 24$

$S_3 = 21$

Для первого равенства:

$$S = \frac{b_1}{1 — q} = 24$$ $$b_1 = 24(1 — q)$$ $$b_1 = 24 — 24q$$

Для второго равенства:

$$S_3 = b_1 + b_2 + b_3 = 21$$ $$b_1 + b_1 \cdot q + b_1 \cdot q^2 = 21$$ $$b_1(1 + q + q^2) = 21$$ $$b_1 = \frac{21}{1 + q + q^2}$$

Имеем уравнение:

$$24 — 24q = \frac{21}{1 + q + q^2}$$ $$(1 + q + q^2)(24 — 24q) = 21$$ $$24 — 24q + 24q — 24q^2 + 24q^2 — 24q^3 = 21$$ $$24 — 24q^3 = 21$$ $$-24q^3 = -3$$ $$q^3 = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}$$ $$q = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2} = 0.5$$

Первый член прогрессии:

$$b_1 = \frac{21}{1 + 0.5 + 0.5^2} = \frac{21}{1.5 + 0.25} = \frac{21}{1.75} = \frac{2100}{175} = 12$$

Ответ: $b_1 = 12$; $q = 0.5$.

б) Найти седьмой член геометрической прогрессии, если:

$S = 31.25$

$S_3 = 31$

Для первого равенства:

$$S = \frac{b_1}{1 — q} = 31.25$$ $$b_1 = 31.25(1 — q)$$ $$b_1 = 31.25 — 31.25q$$

Для второго равенства:

$$S_3 = b_1 + b_2 + b_3 = 31$$ $$b_1 + b_1 \cdot q + b_1 \cdot q^2 = 31$$ $$b_1(1 + q + q^2) = 31$$ $$b_1 = \frac{31}{1 + q + q^2}$$

Имеем уравнение:

$$31.25 — 31.25q = \frac{31}{1 + q + q^2}$$ $$(1 + q + q^2)(31.25 — 31.25q) = 31$$ $$31.25 — 31.25q + 31.25q — 31.25q^2 + 31.25q^2 — 31.25q^3 = 31$$ $$31.25 — 31.25q^3 = 31$$ $$-31.25q^3 = -0.25$$ $$q^3 = \frac{0.25}{31.25} = \frac{1}{125}$$ $$q = \sqrt[3]{\frac{1}{125}} = \frac{1}{5} = 0.2$$

Первый член прогрессии:

$$b_1 = \frac{31}{1 + 0.2 + 0.2^2} = \frac{31}{1.2 + 0.04} = \frac{31}{1.24} = \frac{3100}{124} = 25$$

Седьмой член прогрессии:

$$b_7 = b_1 \cdot q^6 = 25 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^6 = 5^2 \cdot \frac{1}{5^6} = \frac{1}{5^4} = \frac{1}{625}$$

Ответ: $\frac{1}{625}$.

Часть а) Найти геометрическую прогрессию, если:

• $S = 24$
• $S_3 = 21$

1. Определим первое уравнение для $S$

Сумма бесконечной геометрической прогрессии выражается формулой:

$$S = \frac{b_1}{1 — q}$$

где:

• $S$ — сумма бесконечной прогрессии,
• $b_1$ — первый член прогрессии,
• $q$ — знаменатель прогрессии.

Из условия задачи:

$$S = 24$$

Тогда для первого уравнения имеем:

$$\frac{b_1}{1 — q} = 24$$

Умножим обе части уравнения на $1 — q$, чтобы избавиться от знаменателя:

$$b_1 = 24(1 — q)$$

Раскроем скобки:

$$b_1 = 24 — 24q$$

Это первое уравнение, которое связывает $b_1$ и $q$.

2. Определим второе уравнение для $S_3$

Сумма первых трех членов геометрической прогрессии $S_3$ вычисляется по формуле:

$$S_3 = b_1 + b_2 + b_3$$

где $b_2 = b_1 \cdot q$, $b_3 = b_1 \cdot q^2$.

Из условия задачи:

$$S_3 = 21$$

Тогда:

$$b_1 + b_1 \cdot q + b_1 \cdot q^2 = 21$$

Вынесем $b_1$ за скобки:

$$b_1(1 + q + q^2) = 21$$

Теперь выразим $b_1$:

$$b_1 = \frac{21}{1 + q + q^2}$$

Это второе уравнение для $b_1$.

3. Приравняем два выражения для $b_1$

Теперь у нас есть два выражения для $b_1$:

1. $b_1 = 24 — 24q$
2. $b_1 = \frac{21}{1 + q + q^2}$

Приравняем их:

$$24 — 24q = \frac{21}{1 + q + q^2}$$

Умножим обе части уравнения на $1 + q + q^2$, чтобы избавиться от знаменателя:

$$(1 + q + q^2)(24 — 24q) = 21$$

Теперь раскроем скобки:

$$(1 + q + q^2)(24) — (1 + q + q^2)(24q) = 21$$

Распишем это более подробно:

$$24(1 + q + q^2) — 24q(1 + q + q^2) = 21$$ $$24 + 24q + 24q^2 — 24q — 24q^2 — 24q^3 = 21$$

Упростим выражение:

$$24 — 24q^3 = 21$$

Теперь решим это уравнение:

$$-24q^3 = 21 — 24$$ $$-24q^3 = -3$$

Разделим обе части на -24:

$$q^3 = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}$$

Теперь извлечем кубический корень из обеих частей:

$$q = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}$$

4. Найдем $b_1$

Теперь, когда мы знаем значение $q = 0.5$, можем найти $b_1$. Подставим $q = 0.5$ в одно из выражений для $b_1$. Используем выражение $b_1 = 24 — 24q$:

$$b_1 = 24 — 24 \cdot 0.5 = 24 — 12 = 12$$

Ответ для части а):

• $b_1 = 12$
• $q = 0.5$

Часть б) Найти седьмой член геометрической прогрессии, если:

• $S = 31.25$
• $S_3 = 31$

1. Определим первое уравнение для $S$

Сумма бесконечной геометрической прогрессии:

$$S = \frac{b_1}{1 — q}$$

Из условия задачи:

$$S = 31.25$$

Тогда:

$$\frac{b_1}{1 — q} = 31.25$$

Умножим обе части уравнения на $1 — q$:

$$b_1 = 31.25(1 — q)$$

Раскроем скобки:

$$b_1 = 31.25 — 31.25q$$

Это первое уравнение для $b_1$.

2. Определим второе уравнение для $S_3$

Сумма первых трех членов:

$$S_3 = b_1 + b_2 + b_3$$

где $b_2 = b_1 \cdot q$, $b_3 = b_1 \cdot q^2$.

Из условия задачи:

$$S_3 = 31$$

Тогда:

$$b_1 + b_1 \cdot q + b_1 \cdot q^2 = 31$$

Вынесем $b_1$ за скобки:

$$b_1(1 + q + q^2) = 31$$

Теперь выразим $b_1$:

$$b_1 = \frac{31}{1 + q + q^2}$$

Это второе уравнение для $b_1$.

3. Приравняем два выражения для $b_1$

Приравняем два выражения для $b_1$:

1. $b_1 = 31.25 — 31.25q$
2. $b_1 = \frac{31}{1 + q + q^2}$

Приравняем их:

$$31.25 — 31.25q = \frac{31}{1 + q + q^2}$$

Умножим обе части уравнения на $1 + q + q^2$:

$$(1 + q + q^2)(31.25 — 31.25q) = 31$$

Распишем это:

$$31.25 — 31.25q + 31.25q — 31.25q^2 + 31.25q^2 — 31.25q^3 = 31$$

Упростим:

$$31.25 — 31.25q^3 = 31$$

Теперь решим:

$$-31.25q^3 = 31 — 31.25$$ $$-31.25q^3 = -0.25$$

Разделим обе части на -31.25:

$$q^3 = \frac{0.25}{31.25} = \frac{1}{125}$$

Извлекаем кубический корень:

$$q = \sqrt[3]{\frac{1}{125}} = \frac{1}{5} = 0.2$$

4. Найдем $b_1$

Теперь, когда мы знаем значение $q = 0.2$, подставим его в одно из выражений для $b_1$. Используем выражение $b_1 = 31.25 — 31.25q$:

$$b_1 = 31.25 — 31.25 \cdot 0.2 = 31.25 — 6.25 = 25$$

5. Найдем седьмой член прогрессии $b_7$

Седьмой член геометрической прогрессии выражается как:

$$b_7 = b_1 \cdot q^6$$

Подставим $b_1 = 25$ и $q = 0.2$:

$$b_7 = 25 \cdot (0.2)^6 = 25 \cdot \frac{1}{5^6} = 25 \cdot \frac{1}{15625} = \frac{25}{15625} = \frac{1}{625}$$

Ответ для части б):

$$b_7 = \frac{1}{625}$$