ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 38.32 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $S = 2 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots$;

б) $S = 49 + 7 + 1 + \frac{1}{7} + \cdots$;

в) $S = \frac{3}{2} — 1 + \frac{2}{3} — \frac{4}{9} + \cdots$;

г) $S = 125 + 25 + 5 + 1 + \cdots$

а) $S = 2 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots$;

Имеем геометрическую прогрессию:

$$b_1 = 2 \quad \text{и} \quad b_2 = 1;$$ $$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1}{2} = 0,5;$$ $$S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{2}{1 — 0,5} = \frac{2}{0,5} = 4;$$

Ответ: $4$.

б) $S = 49 + 7 + 1 + \frac{1}{7} + \cdots$;

Имеем геометрическую прогрессию:

$$b_1 = 49 \quad \text{и} \quad b_2 = 7;$$ $$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{7}{49} = \frac{1}{7};$$ $$S = \frac{b_1}{1 — q} = 49 : \left(1 — \frac{1}{7}\right) = 49 : \frac{6}{7} = 49 \cdot \frac{7}{6} = \frac{343}{6} = 57 \frac{1}{6};$$

Ответ: $57 \frac{1}{6}$.

в) $S = \frac{3}{2} — 1 + \frac{2}{3} — \frac{4}{9} + \cdots$;

Имеем геометрическую прогрессию:

$$b_1 = \frac{3}{2} \quad \text{и} \quad b_2 = -1;$$ $$q = -1 : \frac{3}{2} = -\frac{2}{3};$$ $$S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{\frac{3}{2}}{1 — \left(-\frac{2}{3}\right)} = \frac{\frac{3}{2}}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{5}{3}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{9}{10} = 0,9;$$

Ответ: $0,9$.

г) $S = 125 + 25 + 5 + 1 + \cdots$;

Имеем геометрическую прогрессию:

$$b_1 = 125 \quad \text{и} \quad b_2 = 25;$$ $$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{25}{125} = \frac{1}{5};$$ $$S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{125}{1 — 0,2} = \frac{125}{0,8} = \frac{1250}{8} = 156,25;$$

Ответ: $156,25$.

а) $S = 2 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots$

Это ряд, который является геометрической прогрессией.

Шаг 1: Выявление параметров прогрессии

Геометрическая прогрессия имеет вид:

$$S = b_1 + b_2 + b_3 + \cdots$$

где $b_1$ — первый элемент, $b_2$ — второй элемент, $b_3$ — третий элемент, и так далее.

В данном случае:

• $b_1 = 2$ — первый элемент прогрессии,
• $b_2 = 1$ — второй элемент прогрессии.

Шаг 2: Определение знаменателя прогрессии $q$

Знаменатель прогрессии $q$ — это отношение второго элемента прогрессии $b_2$ к первому элементу $b_1$:

$$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1}{2}.$$

Таким образом, $q = 0.5$.

Шаг 3: Использование формулы суммы бесконечного геометрического ряда

Если абсолютное значение знаменателя прогрессии $|q| < 1$, то существует сумма бесконечного геометрического ряда:

$$S = \frac{b_1}{1 — q}.$$

Подставим известные значения:

$$S = \frac{2}{1 — 0,5} = \frac{2}{0,5} = 4.$$

Ответ: $S = 4$.

б) $S = 49 + 7 + 1 + \frac{1}{7} + \cdots$

Это также геометрическая прогрессия.

Шаг 1: Выявление параметров прогрессии

В данном случае:

• $b_1 = 49$ — первый элемент прогрессии,
• $b_2 = 7$ — второй элемент прогрессии.

Шаг 2: Определение знаменателя прогрессии $q$

Знаменатель прогрессии $q$ — это отношение второго элемента $b_2$ к первому элементу $b_1$:

$$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{7}{49} = \frac{1}{7}.$$

Шаг 3: Использование формулы суммы бесконечного геометрического ряда

Используем формулу для суммы бесконечного геометрического ряда:

$$S = \frac{b_1}{1 — q}.$$

Подставим значения:

$$S = \frac{49}{1 — \frac{1}{7}} = \frac{49}{\frac{6}{7}} = 49 \cdot \frac{7}{6} = \frac{343}{6}.$$

Теперь разделим $\frac{343}{6}$:

$$S = 57 \frac{1}{6}.$$

Ответ: $S = 57 \frac{1}{6}$.

в) $S = \frac{3}{2} — 1 + \frac{2}{3} — \frac{4}{9} + \cdots$

Это чередующийся геометрический ряд.

Шаг 1: Выявление параметров прогрессии

В данном случае:

• $b_1 = \frac{3}{2}$ — первый элемент прогрессии,
• $b_2 = -1$ — второй элемент прогрессии.

Шаг 2: Определение знаменателя прогрессии $q$

Знаменатель прогрессии $q$ — это отношение второго элемента $b_2$ к первому элементу $b_1$:

$$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-1}{\frac{3}{2}} = -\frac{2}{3}.$$

Шаг 3: Использование формулы суммы бесконечного геометрического ряда

Сумма бесконечного геометрического ряда при условии, что $|q| < 1$, вычисляется по формуле:

$$S = \frac{b_1}{1 — q}.$$

Подставим значения:

$$S = \frac{\frac{3}{2}}{1 — \left(-\frac{2}{3}\right)} = \frac{\frac{3}{2}}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{5}{3}}.$$

Теперь преобразуем дробь:

$$S = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{9}{10} = 0,9.$$

Ответ: $S = 0,9$.

г) $S = 125 + 25 + 5 + 1 + \cdots$

Это геометрическая прогрессия.

Шаг 1: Выявление параметров прогрессии

В данном случае:

• $b_1 = 125$ — первый элемент прогрессии,
• $b_2 = 25$ — второй элемент прогрессии.

Шаг 2: Определение знаменателя прогрессии $q$

Знаменатель прогрессии $q$ — это отношение второго элемента $b_2$ к первому элементу $b_1$:

$$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{25}{125} = \frac{1}{5}.$$

Шаг 3: Использование формулы суммы бесконечного геометрического ряда

Сумма бесконечного геометрического ряда с $|q| < 1$ вычисляется по формуле:

$$S = \frac{b_1}{1 — q}.$$

Подставим значения:

$$S = \frac{125}{1 — 0,2} = \frac{125}{0,8} = \frac{1250}{8} = 156,25.$$

Ответ: $S = 156,25$.

Итог:

а) $S = 4$.

б) $S = 57 \frac{1}{6}$.

в) $S = 0,9$.

г) $S = 156,25$.