ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 38.33 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а)$S = -6 + \frac{2}{3} — \frac{2}{27} + \frac{2}{243} — \ldots$;

б) $S = 3 + \sqrt{3} + 1 + \frac{1}{\sqrt{3}} + \ldots$;

в) $S = 49 — 14 + 4 — \frac{8}{7} + \ldots$;

г) $S = 4 + 2\sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} + \ldots$

а) $S = -6 + \frac{2}{3} — \frac{2}{27} + \frac{2}{243} — \ldots$;

Имеем геометрическую прогрессию:
$b_1 = -6 \quad \text{и} \quad b_2 = \frac{2}{3};$
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\frac{2}{3}}{-6} = -\frac{2}{18} = -\frac{1}{9};$
$S = \frac{b_1}{1-q} = -6 : \left( 1 + \frac{1}{9} \right) = -6 : \frac{10}{9} = -6 \cdot \frac{9}{10} = -\frac{54}{10} = -5,4;$
Ответ: $-5,4$.

б) $S = 3 + \sqrt{3} + 1 + \frac{1}{\sqrt{3}} + \ldots$;

Имеем геометрическую прогрессию:
$b_1 = 3 \quad \text{и} \quad b_2 = \sqrt{3};$
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\sqrt{3}}{3};$
$S = \frac{b_1}{1-q} = 3 : \left( 1 — \frac{\sqrt{3}}{3} \right) = 3 : \left( \frac{3 — \sqrt{3}}{3} \right) = 3 \cdot \frac{3}{3 — \sqrt{3}} = \frac{9}{3 — \sqrt{3}};$
Ответ: $\frac{9}{3 — \sqrt{3}}$.

в) $S = 49 — 14 + 4 — \frac{8}{7} + \ldots$;

Имеем геометрическую прогрессию:
$b_1 = 49 \quad \text{и} \quad b_2 = -14;$
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-14}{49} = -\frac{2}{7};$
$S = \frac{b_1}{1-q} = 49 : \left( 1 + \frac{2}{7} \right) = 49 : \frac{9}{7} = 49 \cdot \frac{7}{9} = \frac{343}{9} = 38 \frac{1}{9};$
Ответ: $38 \frac{1}{9}$.

г) $S = 4 + 2\sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} + \ldots$;

Имеем геометрическую прогрессию:
$b_1 = 4 \quad \text{и} \quad b_2 = 2\sqrt{2};$
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2};$
$S = \frac{b_1}{1-q} = 4 : \left( 1 — \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = 4 : \left( \frac{2 — \sqrt{2}}{2} \right) = 4 \cdot \frac{2}{2 — \sqrt{2}} = \frac{8}{2 — \sqrt{2}};$
Ответ: $\frac{8}{2 — \sqrt{2}}$.

а) $S = -6 + \frac{2}{3} — \frac{2}{27} + \frac{2}{243} — \ldots$

Это пример геометрической прогрессии. Для её нахождения нам нужно определить несколько важных элементов:

первый элемент прогрессии $b_1$,

второй элемент прогрессии $b_2$,

коэффициент прогрессии (или знаменатель) $q$,

сумму бесконечной геометрической прогрессии $S$.

Определим первый элемент $b_1$:
Мы видим, что первый элемент равен $-6$:

$$b_1 = -6.$$

Определим второй элемент $b_2$:
Второй элемент прогрессии равен $\frac{2}{3}$:

$$b_2 = \frac{2}{3}.$$

Найдем коэффициент прогрессии $q$:
Коэффициент прогрессии $q$ можно найти по формуле:

$$q = \frac{b_2}{b_1}.$$

Подставляем значения:

$$q = \frac{\frac{2}{3}}{-6} = -\frac{2}{18} = -\frac{1}{9}.$$

Таким образом, коэффициент прогрессии $q = -\frac{1}{9}$.

Найдем сумму бесконечной геометрической прогрессии $S$:
Сумму бесконечной геометрической прогрессии можно найти по формуле:

$$S = \frac{b_1}{1 — q},$$

где $b_1$ — первый элемент прогрессии, а $q$ — коэффициент прогрессии.

Подставляем наши значения:

$$S = \frac{-6}{1 — \left( -\frac{1}{9} \right)} = \frac{-6}{1 + \frac{1}{9}}.$$

Приводим к общему знаменателю:

$$S = \frac{-6}{\frac{9}{9} + \frac{1}{9}} = \frac{-6}{\frac{10}{9}}.$$

Чтобы разделить на дробь, умножаем на её обратную величину:

$$S = -6 \cdot \frac{9}{10} = -\frac{54}{10} = -5,4.$$

Ответ: $S = -5,4$.

б) $S = 3 + \sqrt{3} + 1 + \frac{1}{\sqrt{3}} + \ldots$

Определим первый элемент $b_1$:
Мы видим, что первый элемент равен $3$:

$$b_1 = 3.$$

Определим второй элемент $b_2$:
Второй элемент прогрессии равен $\sqrt{3}$:

$$b_2 = \sqrt{3}.$$

Найдем коэффициент прогрессии $q$:
Коэффициент прогрессии $q$ можно найти по формуле:

$$q = \frac{b_2}{b_1}.$$

Подставляем значения:

$$q = \frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Это и будет наш коэффициент прогрессии $q$.

Найдем сумму бесконечной геометрической прогрессии $S$:
Сумму бесконечной геометрической прогрессии можно найти по формуле:

$$S = \frac{b_1}{1 — q}.$$

Подставляем наши значения:

$$S = \frac{3}{1 — \frac{\sqrt{3}}{3}}.$$

Приводим к общему знаменателю в знаменателе:

$$S = \frac{3}{\frac{3}{3} — \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{3}{\frac{3 — \sqrt{3}}{3}}.$$

Умножаем на обратную величину дроби в знаменателе:

$$S = 3 \cdot \frac{3}{3 — \sqrt{3}} = \frac{9}{3 — \sqrt{3}}.$$

Ответ: $S = \frac{9}{3 — \sqrt{3}}$.

в) $S = 49 — 14 + 4 — \frac{8}{7} + \ldots$

Определим первый элемент $b_1$:
Мы видим, что первый элемент равен $49$:

$$b_1 = 49.$$

Определим второй элемент $b_2$:
Второй элемент прогрессии равен $-14$:

$$b_2 = -14.$$

Найдем коэффициент прогрессии $q$:
Коэффициент прогрессии $q$ можно найти по формуле:

$$q = \frac{b_2}{b_1}.$$

Подставляем значения:

$$q = \frac{-14}{49} = -\frac{2}{7}.$$

Таким образом, коэффициент прогрессии $q = -\frac{2}{7}$.

Найдем сумму бесконечной геометрической прогрессии $S$:
Сумму бесконечной геометрической прогрессии можно найти по формуле:

$$S = \frac{b_1}{1 — q}.$$

Подставляем наши значения:

$$S = \frac{49}{1 — \left( -\frac{2}{7} \right)} = \frac{49}{1 + \frac{2}{7}}.$$

Приводим к общему знаменателю:

$$S = \frac{49}{\frac{7}{7} + \frac{2}{7}} = \frac{49}{\frac{9}{7}}.$$

Чтобы разделить на дробь, умножаем на её обратную величину:

$$S = 49 \cdot \frac{7}{9} = \frac{343}{9} = 38 \frac{1}{9}.$$

Ответ: $S = 38 \frac{1}{9}$.

г) $S = 4 + 2\sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} + \ldots$

Определим первый элемент $b_1$:
Мы видим, что первый элемент равен $4$:

$$b_1 = 4.$$

Определим второй элемент $b_2$:
Второй элемент прогрессии равен $2\sqrt{2}$:

$$b_2 = 2\sqrt{2}.$$

Найдем коэффициент прогрессии $q$:
Коэффициент прогрессии $q$ можно найти по формуле:

$$q = \frac{b_2}{b_1}.$$

Подставляем значения:

$$q = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Таким образом, коэффициент прогрессии $q = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Найдем сумму бесконечной геометрической прогрессии $S$:
Сумму бесконечной геометрической прогрессии можно найти по формуле:

$$S = \frac{b_1}{1 — q}.$$

Подставляем наши значения:

$$S = \frac{4}{1 — \frac{\sqrt{2}}{2}}.$$

Приводим к общему знаменателю:

$$S = \frac{4}{\frac{2}{2} — \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4}{\frac{2 — \sqrt{2}}{2}}.$$

Умножаем на обратную величину дроби в знаменателе:

$$S = 4 \cdot \frac{2}{2 — \sqrt{2}} = \frac{8}{2 — \sqrt{2}}.$$

Ответ: $S = \frac{8}{2 — \sqrt{2}}$.