ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 38.34 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $S = 2 + 4 + 6 + \cdots + 20 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots$;

б) $S = 1 + 3 + 5 + \cdots + 99 + \frac{2}{5} — \frac{4}{25} + \frac{8}{125} — \cdots$;

в) $S = 21 + 24 + 27 + \cdots + 51 + \frac{1}{3} — \frac{1}{9} + \frac{1}{27} — \cdots$;

г) $S = 1 + 4 + 7 + \cdots + 100 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + \cdots$

а) $S = 2 + 4 + 6 + \cdots + 20 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots$;

Для первой половины имеем арифметическую прогрессию:

$$a_1 = 2, \quad a_2 = 4 \quad \text{и} \quad a_n = 20;$$ $$d = a_2 — a_1 = 4 — 2 = 2;$$ $$n = \frac{a_n — a_1}{d} + 1 = \frac{20 — 2}{2} + 1 = \frac{18}{2} + 1 = 9 + 1 = 10;$$ $$S_{10} = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{2 + 20}{2} \cdot 10 = \frac{22}{2} \cdot 10 = 11 \cdot 10 = 110;$$

Для второй половины имеем геометрическую прогрессию:

$$b_1 = \frac{1}{2} = 0,5 \quad \text{и} \quad b_2 = \frac{1}{4};$$ $$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{1} = \frac{1}{2} = 0,5;$$ $$S_n = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{0,5}{1 — 0,5} = \frac{0,5}{0,5} = 1;$$

Общая сумма:

$$S = S_{10} + S_n = 110 + 1 = 111;$$

Ответ: $111$.

б) $S = 1 + 3 + 5 + \cdots + 99 + \frac{2}{5} — \frac{4}{25} + \frac{8}{125} — \cdots$;

Для первой половины имеем арифметическую прогрессию:

$$a_1 = 1, \quad a_2 = 3 \quad \text{и} \quad a_n = 99;$$ $$d = a_2 — a_1 = 3 — 1 = 2;$$ $$n = \frac{a_n — a_1}{d} + 1 = \frac{99 — 1}{2} + 1 = \frac{98}{2} + 1 = 49 + 1 = 50;$$ $$S_{50} = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{1 + 99}{2} \cdot 50 = \frac{100}{2} \cdot 50 = 50 \cdot 50 = 2500;$$

Для второй половины имеем геометрическую прогрессию:

$$b_1 = \frac{2}{5} = 0,4 \quad \text{и} \quad b_2 = -\frac{4}{25};$$ $$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-\frac{4}{25}}{\frac{2}{5}} = -\frac{4}{25} \cdot \frac{5}{2} = -\frac{4 \cdot 5}{25 \cdot 2} = -\frac{20}{50} = -\frac{2}{5} = -0,4;$$ $$S_n = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{0,4}{1 — (-0,4)} = \frac{0,4}{1 + 0,4} = \frac{0,4}{1,4} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7};$$

Общая сумма:

$$S = S_{50} + S_n = 2500 + \frac{2}{7} = 2500 \frac{2}{7};$$

Ответ: $2500 \frac{2}{7}$.

в) $S = 21 + 24 + 27 + \cdots + 51 + \frac{1}{3} — \frac{1}{9} + \frac{1}{27} — \cdots$;

Для первой половины имеем арифметическую прогрессию:

$$a_1 = 21, \quad a_2 = 24 \quad \text{и} \quad a_n = 51;$$ $$d = a_2 — a_1 = 24 — 21 = 3;$$ $$n = \frac{a_n — a_1}{d} + 1 = \frac{51 — 21}{3} + 1 = \frac{30}{3} + 1 = 10 + 1 = 11;$$ $$S_{11} = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{21 + 51}{2} \cdot 11 = \frac{72}{2} \cdot 11 = 36 \cdot 11 = 396;$$

Для второй половины имеем геометрическую прогрессию:

$$b_1 = \frac{1}{3} \quad \text{и} \quad b_2 = -\frac{1}{9};$$ $$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-\frac{1}{9}}{\frac{1}{3}} = -\frac{1}{9} \cdot \frac{3}{1} = -\frac{1 \cdot 3}{9 \cdot 1} = -\frac{3}{9} = -\frac{1}{3};$$ $$S_n = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{\frac{1}{3}}{1 — \left(-\frac{1}{3}\right)} = \frac{\frac{1}{3}}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{4}{3}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{4} = 0,25;$$

Общая сумма:

$$S = S_{11} + S_n = 396 + 0,25 = 396,25;$$

Ответ: $396,25$.

г) $S = 1 + 4 + 7 + \cdots + 100 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + \cdots$;

Для первой половины имеем арифметическую прогрессию:

$$a_1 = 1, \quad a_2 = 4 \quad \text{и} \quad a_n = 100;$$ $$d = a_2 — a_1 = 4 — 1 = 3;$$ $$n = \frac{a_n — a_1}{d} + 1 = \frac{100 — 1}{3} + 1 = \frac{99}{3} + 1 = 33 + 1 = 34;$$ $$S_{34} = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{1 + 100}{2} \cdot 34 = \frac{101}{2} \cdot 34 = 101 \cdot 17 = 1717;$$

Для второй половины имеем геометрическую прогрессию:

$$b_1 = 0,1 \quad \text{и} \quad b_2 = 0,01;$$ $$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{0,01}{0,1} = \frac{1}{10} = 0,1;$$ $$S_n = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{0,1}{1 — 0,1} = \frac{0,1}{0,9} = \frac{1}{9};$$

Общая сумма:

$$S = S_{34} + S_n = 1717 + \frac{1}{9} = 1717 \frac{1}{9};$$

Ответ: $1717 \frac{1}{9}$.

Задание а)

Нам нужно найти сумму:

$$S = 2 + 4 + 6 + \cdots + 20 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots$$

Задача состоит из двух частей: первая часть — сумма чисел арифметической прогрессии, а вторая — сумма чисел геометрической прогрессии.

1) Первая половина: арифметическая прогрессия

Члены арифметической прогрессии: $2, 4, 6, \ldots, 20$.

У нас есть:

• первый член прогрессии $a_1 = 2$,
• второй член $a_2 = 4$,
• последний член прогрессии $a_n = 20$.

Шаг прогрессии $d$ — это разница между любыми двумя последовательными членами:

$$d = a_2 — a_1 = 4 — 2 = 2.$$

Теперь нам нужно найти количество членов прогрессии. Для этого используем формулу для $n$-го члена арифметической прогрессии:

$$a_n = a_1 + (n — 1) \cdot d.$$

Подставляем значения:

$$20 = 2 + (n — 1) \cdot 2.$$

Решаем это уравнение:

$$20-2=(n-1)\cdot 2\Rightarrow 18=(n-1)\cdot 2\Rightarrow$$

$$20 — 2 = (n — 1) \cdot 2 \quad \Rightarrow \quad 18 = (n — 1) \cdot 2 \quad \Rightarrow \quad n — 1 = \frac{18}{2} = 9 \quad \Rightarrow \quad n = 10.$$

Значит, количество членов арифметической прогрессии равно 10.

Теперь вычислим сумму первых 10 членов арифметической прогрессии по формуле:

$$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n.$$

Подставляем значения:

$$S_{10} = \frac{2 + 20}{2} \cdot 10 = \frac{22}{2} \cdot 10 = 11 \cdot 10 = 110.$$

2) Вторая половина: геометрическая прогрессия

Члены геометрической прогрессии: $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \ldots$.

• Первый член прогрессии $b_1 = \frac{1}{2}$,
• Второй член $b_2 = \frac{1}{4}$.

Нужно найти общее количество членов прогрессии и сумму этой прогрессии. Для этого сначала вычислим знаменатель прогрессии $q$, который равен отношению второго члена к первому:

$$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{1} = \frac{1}{2}.$$

Теперь вычислим сумму всех членов этой геометрической прогрессии. Для этого используем формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии, так как прогрессия продолжается до бесконечности и $|q| < 1$:

$$S_n = \frac{b_1}{1 — q}.$$

Подставляем значения:

$$S_n = \frac{\frac{1}{2}}{1 — \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = 1.$$

3) Общая сумма

Теперь можем найти общую сумму:

$$S = S_{10} + S_n = 110 + 1 = 111.$$

Ответ: $111$.

Задание б)

Нам нужно найти сумму:

$$S = 1 + 3 + 5 + \cdots + 99 + \frac{2}{5} — \frac{4}{25} + \frac{8}{125} — \cdots$$

1) Первая половина: арифметическая прогрессия

Члены арифметической прогрессии: $1, 3, 5, \ldots, 99$.

У нас есть:

• первый член прогрессии $a_1 = 1$,
• второй член $a_2 = 3$,
• последний член прогрессии $a_n = 99$.

Шаг прогрессии $d$ — это разница между любыми двумя последовательными членами:

$$d = a_2 — a_1 = 3 — 1 = 2.$$

Теперь нам нужно найти количество членов прогрессии. Для этого используем формулу для $n$-го члена арифметической прогрессии:

$$a_n = a_1 + (n — 1) \cdot d.$$

Подставляем значения:

$$99 = 1 + (n — 1) \cdot 2.$$

Решаем это уравнение:

$$99-1=(n-1)\cdot 2\Rightarrow 98=(n-1)\cdot 2\Rightarrow$$

$$99 — 1 = (n — 1) \cdot 2 \quad \Rightarrow \quad 98 = (n — 1) \cdot 2 \quad \Rightarrow \quad n — 1 = \frac{98}{2} = 49 \quad \Rightarrow \quad n = 50.$$

Значит, количество членов арифметической прогрессии равно 50.

Теперь вычислим сумму первых 50 членов арифметической прогрессии по формуле:

$$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n.$$

Подставляем значения:

$$S_{50} = \frac{1 + 99}{2} \cdot 50 = \frac{100}{2} \cdot 50 = 50 \cdot 50 = 2500.$$

2) Вторая половина: геометрическая прогрессия

Члены геометрической прогрессии: $\frac{2}{5}, -\frac{4}{25}, \frac{8}{125}, \ldots$.

• Первый член прогрессии $b_1 = \frac{2}{5}$,
• Второй член $b_2 = -\frac{4}{25}$.

Нужно найти общее количество членов прогрессии и сумму этой прогрессии. Для этого сначала вычислим знаменатель прогрессии $q$, который равен отношению второго члена к первому:

$$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-\frac{4}{25}}{\frac{2}{5}} = -\frac{4}{25} \cdot \frac{5}{2} = -\frac{20}{50} = -\frac{2}{5}.$$

Теперь вычислим сумму всех членов этой геометрической прогрессии. Для этого используем формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии, так как прогрессия продолжается до бесконечности и $|q| < 1$:

$$S_n = \frac{b_1}{1 — q}.$$

Подставляем значения:

$$S_n = \frac{\frac{2}{5}}{1 — (-\frac{2}{5})} = \frac{\frac{2}{5}}{1 + \frac{2}{5}} = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{7}{5}} = \frac{2}{7}.$$

3) Общая сумма

Теперь можем найти общую сумму:

$$S = S_{50} + S_n = 2500 + \frac{2}{7} = 2500 \frac{2}{7}.$$

Ответ: $2500 \frac{2}{7}$.

Задание в)

Нам нужно найти сумму:

$$S = 21 + 24 + 27 + \cdots + 51 + \frac{1}{3} — \frac{1}{9} + \frac{1}{27} — \cdots$$

1) Первая половина: арифметическая прогрессия

Члены арифметической прогрессии: $21, 24, 27, \ldots, 51$.

У нас есть:

• первый член прогрессии $a_1 = 21$,
• второй член $a_2 = 24$,
• последний член прогрессии $a_n = 51$.

Шаг прогрессии $d$ — это разница между любыми двумя последовательными членами:

$$d = a_2 — a_1 = 24 — 21 = 3.$$

Теперь нам нужно найти количество членов прогрессии. Для этого используем формулу для $n$-го члена арифметической прогрессии:

$$a_n = a_1 + (n — 1) \cdot d.$$

Подставляем значения:

$$51 = 21 + (n — 1) \cdot 3.$$

Решаем это уравнение:

$$51-21=(n-1)\cdot 3\Rightarrow 30=(n-1)\cdot 3\Rightarrow$$

$$51 — 21 = (n — 1) \cdot 3 \quad \Rightarrow \quad 30 = (n — 1) \cdot 3 \quad \Rightarrow \quad n — 1 = \frac{30}{3} = 10 \quad \Rightarrow \quad n = 11.$$

Значит, количество членов арифметической прогрессии равно 11.

Теперь вычислим сумму первых 11 членов арифметической прогрессии по формуле:

$$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n.$$

Подставляем значения:

$$S_{11} = \frac{21 + 51}{2} \cdot 11 = \frac{72}{2} \cdot 11 = 36 \cdot 11 = 396.$$

2) Вторая половина: геометрическая прогрессия

Члены геометрической прогрессии: $\frac{1}{3}, -\frac{1}{9}, \frac{1}{27}, \ldots$.

• Первый член прогрессии $b_1 = \frac{1}{3}$,
• Второй член $b_2 = -\frac{1}{9}$.

Нужно найти общее количество членов прогрессии и сумму этой прогрессии. Для этого сначала вычислим знаменатель прогрессии $q$, который равен отношению второго члена к первому:

$$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-\frac{1}{9}}{\frac{1}{3}} = -\frac{1}{9} \cdot \frac{3}{1} = -\frac{3}{9} = -\frac{1}{3}.$$

Теперь вычислим сумму всех членов этой геометрической прогрессии. Для этого используем формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии, так как прогрессия продолжается до бесконечности и $|q| < 1$:

$$S_n = \frac{b_1}{1 — q}.$$

Подставляем значения:

$$S_n = \frac{\frac{1}{3}}{1 — (-\frac{1}{3})} = \frac{\frac{1}{3}}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{4}{3}} = \frac{1}{4} = 0,25.$$

3) Общая сумма

Теперь можем найти общую сумму:

$$S = S_{11} + S_n = 396 + 0,25 = 396,25.$$

Ответ: $396,25$.

Задание г)

Нам нужно найти сумму:

$$S = 1 + 4 + 7 + \cdots + 100 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + \cdots$$

1) Первая половина: арифметическая прогрессия

Члены арифметической прогрессии: $1, 4, 7, \ldots, 100$.

У нас есть:

• первый член прогрессии $a_1 = 1$,
• второй член $a_2 = 4$,
• последний член прогрессии $a_n = 100$.

Шаг прогрессии $d$ — это разница между любыми двумя последовательными членами:

$$d = a_2 — a_1 = 4 — 1 = 3.$$

Теперь нам нужно найти количество членов прогрессии. Для этого используем формулу для $n$-го члена арифметической прогрессии:

$$a_n = a_1 + (n — 1) \cdot d.$$

Подставляем значения:

$$100 = 1 + (n — 1) \cdot 3.$$

Решаем это уравнение:

$$100-1=(n-1)\cdot 3\Rightarrow 99=(n-1)\cdot 3\Rightarrow$$

$$100 — 1 = (n — 1) \cdot 3 \quad \Rightarrow \quad 99 = (n — 1) \cdot 3 \quad \Rightarrow \quad n — 1 = \frac{99}{3} = 33 \quad \Rightarrow \quad n = 34.$$

Значит, количество членов арифметической прогрессии равно 34.

Теперь вычислим сумму первых 34 членов арифметической прогрессии по формуле:

$$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n.$$

Подставляем значения:

$$S_{34} = \frac{1 + 100}{2} \cdot 34 = \frac{101}{2} \cdot 34 = 101 \cdot 17 = 1717.$$

2) Вторая половина: геометрическая прогрессия

Члены геометрической прогрессии: $0,1, 0,01, 0,001, \ldots$.

• Первый член прогрессии $b_1 = 0,1$,
• Второй член $b_2 = 0,01$.

Нужно найти общее количество членов прогрессии и сумму этой прогрессии. Для этого сначала вычислим знаменатель прогрессии $q$, который равен отношению второго члена к первому:

$$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{0,01}{0,1} = \frac{1}{10} = 0,1.$$

Теперь вычислим сумму всех членов этой геометрической прогрессии. Для этого используем формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии, так как прогрессия продолжается до бесконечности и $|q| < 1$:

$$S_n = \frac{b_1}{1 — q}.$$

Подставляем значения:

$$S_n = \frac{0,1}{1 — 0,1} = \frac{0,1}{0,9} = \frac{1}{9}.$$

3) Общая сумма

Теперь можем найти общую сумму:

$$S = S_{34} + S_n = 1717 + \frac{1}{9} = 1717 \frac{1}{9}.$$

Ответ: $1717 \frac{1}{9}$.