ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 38.35 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Упростите выражение ($x\mathrm{\ne }\frac{\pi n}{2}$):

а) $S = \sin x + \sin^2 x + \sin^3 x + \sin^4 x + \cdots$

б) $S = \cos x — \cos^2 x + \cos^3 x — \cos^4 x + \cdots$

в) $S = \cos^2 x + \cos^4 x + \cos^6 x + \cos^8 x + \cdots$

г) $1-{\sin }^{3}x+{\sin }^{6}x-{\sin }^{9}x+\cdots$

Известно, что $x \neq \frac{\pi n}{2}$, значит $|\sin x| < 1$ и $|\cos x| < 1$;

а) $S = \sin x + \sin^2 x + \sin^3 x + \sin^4 x + \cdots$

Имеем геометрическую прогрессию:

$$b_1 = \sin x \quad \text{и} \quad b_2 = \sin^2 x;$$ $$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\sin^2 x}{\sin x} = \sin x;$$ $$S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{\sin x}{1 — \sin x};$$

Ответ: $\frac{\sin x}{1 — \sin x}$.

б) $S = \cos x — \cos^2 x + \cos^3 x — \cos^4 x + \cdots$

Имеем геометрическую прогрессию:

$$b_1 = \cos x \quad \text{и} \quad b_2 = -\cos^2 x;$$ $$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-\cos^2 x}{\cos x} = -\cos x;$$ $$S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{\cos x}{1 + \cos x};$$

Ответ: $\frac{\cos x}{1 + \cos x}$.

в) $S = \cos^2 x + \cos^4 x + \cos^6 x + \cos^8 x + \cdots$

Имеем геометрическую прогрессию:

$$b_1 = \cos^2 x \quad \text{и} \quad b_2 = \cos^4 x;$$ $$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\cos^4 x}{\cos^2 x} = \cos^2 x;$$ $$S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{\cos^2 x}{1 — \cos^2 x} = \frac{\cos^2 x}{1 — (1 — \sin^2 x)} = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = \cot^2 x;$$

Ответ: $\cot^2 x$.

г) $S = 1 — \sin^3 x + \sin^6 x — \sin^9 x + \cdots$

Имеем геометрическую прогрессию:

$$b_1 = 1 \quad \text{и} \quad b_2 = -\sin^3 x;$$ $$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-\sin^3 x}{1} = -\sin^3 x;$$ $$S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{1}{1 + \sin^3 x};$$

Ответ: $\frac{1}{1 + \sin^3 x}$.

Известно, что $x \neq \frac{\pi n}{2}$, значит $|\sin x| < 1$ и $|\cos x| < 1$.

Задача состоит в том, чтобы вычислить суммы бесконечных геометрических прогрессий в разных случаях.

а) $S = \sin x + \sin^2 x + \sin^3 x + \sin^4 x + \cdots$

Шаг 1: Определим форму геометрической прогрессии

Рассмотрим выражение для суммы:

$$S = \sin x + \sin^2 x + \sin^3 x + \sin^4 x + \cdots$$

Это сумма бесконечной геометрической прогрессии, где первый член $b_1 = \sin x$, а второй член $b_2 = \sin^2 x$.

Шаг 2: Найдем знаменатель прогрессии

Для того чтобы решить такую задачу, нужно найти знаменатель прогрессии. Он вычисляется как отношение второго члена ко второму:

$$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\sin^2 x}{\sin x} = \sin x.$$

Знаменатель прогрессии равен $q = \sin x$.

Шаг 3: Используем формулу для суммы бесконечной геометрической прогрессии

Для геометрической прогрессии с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$ сумма бесконечной прогрессии вычисляется по формуле:

$$S = \frac{b_1}{1 — q}.$$

Подставим найденные значения $b_1 = \sin x$ и $q = \sin x$ в формулу:

$$S = \frac{\sin x}{1 — \sin x}.$$

Ответ:

$$S = \frac{\sin x}{1 — \sin x}.$$

б) $S = \cos x — \cos^2 x + \cos^3 x — \cos^4 x + \cdots$

Шаг 1: Определим форму геометрической прогрессии

Рассмотрим выражение для суммы:

$$S = \cos x — \cos^2 x + \cos^3 x — \cos^4 x + \cdots$$

Это также бесконечная геометрическая прогрессия, но с чередующимися знаками. Первый член $b_1 = \cos x$, второй член $b_2 = -\cos^2 x$.

Шаг 2: Найдем знаменатель прогрессии

Для вычисления знаменателя прогрессии найдем отношение второго члена к первому:

$$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-\cos^2 x}{\cos x} = -\cos x.$$

Знаменатель прогрессии равен $q = -\cos x$.

Шаг 3: Используем формулу для суммы бесконечной геометрической прогрессии

Подставляем найденные значения $b_1 = \cos x$ и $q = -\cos x$ в формулу для суммы:

$$S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{\cos x}{1 + \cos x}.$$

Ответ:

$$S = \frac{\cos x}{1 + \cos x}.$$

в) $S = \cos^2 x + \cos^4 x + \cos^6 x + \cos^8 x + \cdots$

Шаг 1: Определим форму геометрической прогрессии

Рассмотрим выражение для суммы:

$$S = \cos^2 x + \cos^4 x + \cos^6 x + \cos^8 x + \cdots$$

Это бесконечная геометрическая прогрессия, где первый член $b_1 = \cos^2 x$, а второй член $b_2 = \cos^4 x$.

Шаг 2: Найдем знаменатель прогрессии

Знаменатель прогрессии можно вычислить как отношение второго члена к первому:

$$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\cos^4 x}{\cos^2 x} = \cos^2 x.$$

Знаменатель прогрессии равен $q = \cos^2 x$.

Шаг 3: Используем формулу для суммы бесконечной геометрической прогрессии

Подставляем найденные значения $b_1 = \cos^2 x$ и $q = \cos^2 x$ в формулу для суммы:

$$S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{\cos^2 x}{1 — \cos^2 x}.$$

Теперь, используя тригонометрическое тождество $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$, можем преобразовать $1 — \cos^2 x$ в $\sin^2 x$:

$$S = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = \cot^2 x.$$

Ответ:

$$S = \cot^2 x.$$

г) $S = 1 — \sin^3 x + \sin^6 x — \sin^9 x + \cdots$

Шаг 1: Определим форму геометрической прогрессии

Рассмотрим выражение для суммы:

$$S = 1 — \sin^3 x + \sin^6 x — \sin^9 x + \cdots$$

Это бесконечная геометрическая прогрессия с первым членом $b_1 = 1$, а вторым членом $b_2 = -\sin^3 x$.

Шаг 2: Найдем знаменатель прогрессии

Знаменатель прогрессии можно вычислить как отношение второго члена к первому:

$$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-\sin^3 x}{1} = -\sin^3 x.$$

Знаменатель прогрессии равен $q = -\sin^3 x$.

Шаг 3: Используем формулу для суммы бесконечной геометрической прогрессии

Подставляем найденные значения $b_1 = 1$ и $q = -\sin^3 x$ в формулу для суммы:

$$S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{1}{1 + \sin^3 x}.$$

Ответ:

$$S = \frac{1}{1 + \sin^3 x}.$$

Итоговые ответы:

1. $S = \frac{\sin x}{1 — \sin x}$
2. $S = \frac{\cos x}{1 + \cos x}$
3. $S = \cot^2 x$
4. $S = \frac{1}{1 + \sin^3 x}$