ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 38.36 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение, если известно, что |х| < 1:

а) $S = x + x^2 + x^3 + x^4 + \cdots + x^n + \cdots = 4$;

б) $2x-4x^2+8x^3-16x^4+\cdots =\frac{3}{8}$

Известно, что $|x| < 1$;

а) $S = x + x^2 + x^3 + x^4 + \cdots + x^n + \cdots = 4$;

Имеем геометрическую прогрессию:
$b_1 = x \quad \text{и} \quad b_2 = x^2;$
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{x^2}{x} = x;$
$S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{x}{1 — x} = 4;$
$x = 4(1 — x);$
$x = 4 — 4x;$
$5x = 4, \text{отсюда } x = \frac{4}{5} = 0.8;$
Ответ: $x = 0.8$.

б) $S = 2x — 4x^2 + 8x^3 — 16x^4 + \cdots = \frac{3}{8};$

Имеем геометрическую прогрессию:
$b_1 = 2x \quad \text{и} \quad b_2 = -4x^2;$
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-4x^2}{2x} = -2x;$
$S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{2x}{1 + 2x} = \frac{3}{8};$
$8 \cdot 2x = 3(1 + 2x);$
$16x = 3 + 6x;$
$10x = 3, \text{отсюда } x = \frac{3}{10} = 0.3;$
Ответ: $x = 0.3$.

Известно, что $|x| < 1$;

Часть а)

Нам дается следующая сумма:

$$S = x + x^2 + x^3 + x^4 + \cdots + x^n + \cdots = 4$$

Это выражение представляет собой бесконечную геометрическую прогрессию, где:

первый элемент прогрессии $b_1 = x$,

второй элемент $b_2 = x^2$.

Геометрическая прогрессия имеет следующий общий вид:

$$S = b_1 + b_1 q + b_1 q^2 + b_1 q^3 + \cdots$$

где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — знаменатель прогрессии (то есть отношение каждого члена к предыдущему).

Для данной прогрессии:

$b_1 = x$,

$b_2 = x^2$, отсюда $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{x^2}{x} = x$.

Таким образом, $q = x$, и мы можем записать сумму бесконечной геометрической прогрессии:

$$S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{x}{1 — x}$$

Нам известно, что эта сумма равна 4, то есть:

$$\frac{x}{1 — x} = 4$$

Теперь решим это уравнение для $x$:

Умножим обе части уравнения на $1 — x$, чтобы избавиться от дроби:

$$x = 4(1 — x)$$

Раскроем скобки:

$$x = 4 — 4x$$

Переносим все слагаемые с $x$ в одну сторону:

$$x + 4x = 4$$

Получаем:

$$5x = 4$$

Теперь разделим обе части уравнения на 5:

$$x = \frac{4}{5} = 0.8$$

Ответ: $x = 0.8$.

Часть б)

Нам дается следующая сумма:

$$S = 2x — 4x^2 + 8x^3 — 16x^4 + \cdots = \frac{3}{8}$$

Это также бесконечная геометрическая прогрессия, но с чередующимися знаками. Мы можем переписать ее так:

$$S = 2x — 4x^2 + 8x^3 — 16x^4 + \cdots = 2x \cdot (1 — 2x + 4x^2 — 8x^3 + \cdots)$$

То есть, внешний множитель — это $2x$, а внутреннее выражение представляет собой геометрическую прогрессию с первым членом $1$ и знаменателем $-2x$. Эта прогрессия имеет вид:

$$1 — 2x + 4x^2 — 8x^3 + \cdots$$

Сумма этой геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

$$S = \frac{1}{1 — (-2x)} = \frac{1}{1 + 2x}$$

Теперь для всей суммы $S$ имеем:

$$S = 2x \cdot \frac{1}{1 + 2x}$$

Нам известно, что эта сумма равна $\frac{3}{8}$, то есть:

$$2x \cdot \frac{1}{1 + 2x} = \frac{3}{8}$$

Решим это уравнение для $x$:

Умножим обе части уравнения на $1 + 2x$, чтобы избавиться от дроби:

$$2x = \frac{3}{8} \cdot (1 + 2x)$$

Раскроем скобки:

$$2x = \frac{3}{8} + \frac{6x}{8}$$

Умножим обе части уравнения на 8, чтобы избавиться от дробей:

$$16x = 3 + 6x$$

Переносим все слагаемые с $x$ в одну сторону:

$$16x — 6x = 3$$

Получаем:

$$10x = 3$$

Теперь разделим обе части уравнения на 10:

$$x = \frac{3}{10} = 0.3$$

Ответ: $x = 0.3$.

Итоговые ответы:

Для части а) $x = 0.8$,

Для части б) $x = 0.3$.