ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 38.37 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение, если известно, что |х| < 1:

а) $S = \frac{1}{x} + x + x^2 + x^3 + x^4 + \cdots + x^n + \cdots = \frac{7}{2}$;

б) $S = 2x + 1 + x^2 — x^3 + x^4 — x^5 + \cdots = \frac{13}{6}$

Известно, что $|x| < 1$;

а) $S = \frac{1}{x} + x + x^2 + x^3 + x^4 + \cdots + x^n + \cdots = \frac{7}{2}$;

Со второго члена имеем геометрическую прогрессию:
$b_1 = x \quad \text{и} \quad b_2 = x^2;$
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{x^2}{x} = x;$
$S = \frac{1}{x} + \frac{b_1}{1 — q} = \frac{1}{x} + \frac{x}{1 — x} = \frac{7}{2};$
$\frac{1 — x + x^2}{x(1 — x)} = \frac{7}{2};$
$2(1 — x + x^2) = 7x(1 — x);$
$2 — 2x + 2x^2 = 7x — 7x^2;$
$9x^2 — 9x + 2 = 0;$
$D = 9^2 — 4 \cdot 9 \cdot 2 = 81 — 72 = 9, \text{тогда:}$
$x_1 = \frac{9 — 3}{2 \cdot 9} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{9 + 3}{2 \cdot 9} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3};$
Ответ: $\frac{1}{3}; \frac{2}{3}$.

б) $S = 2x + 1 + x^2 — x^3 + x^4 — x^5 + \cdots = \frac{13}{6}$;

С третьего члена имеем геометрическую прогрессию:
$b_1 = x^2 \quad \text{и} \quad b_2 = -x^3;$
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-x^3}{x^2} = -x;$
$S = 2x + 1 + \frac{x^2}{1 + x} = \frac{13}{6};$
$6(1 + x)(2x + 1) + 6x^2 = 13(1 + x);$
$6(2x + 1 + 2x^2 + x) + 6x^2 = 13 + 13x;$
$12x + 6 + 12x^2 + 6x + 6x^2 — 13 — 13x = 0;$
$18x^2 + 5x — 7 = 0;$
$D = 5^2 + 4 \cdot 18 \cdot 7 = 25 + 504 = 529 = 23^2, \text{тогда:}$
$x_1 = \frac{-5 — 23}{2 \cdot 18} = \frac{-28}{36} = -\frac{7}{9} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-5 + 23}{2 \cdot 18} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2};$
Ответ: $-\frac{7}{9}; \frac{1}{2}$.

Известно, что $|x| < 1$.

а) Сумма ряда:

$$S = \frac{1}{x} + x + x^2 + x^3 + x^4 + \cdots + x^n + \cdots = \frac{7}{2}.$$

Этот ряд представляет собой сумму двух частей:

1. Первая часть — это $\frac{1}{x}$, постоянное слагаемое.
2. Вторая часть — это бесконечная геометрическая прогрессия начиная с $x$.

Итак, с второго члена начинаем рассматривать геометрическую прогрессию. Для этой прогрессии:

• Первый член $b_1 = x$,
• Второй член $b_2 = x^2$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$:

$$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{x^2}{x} = x.$$

Теперь применим формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии:
Сумма прогрессии $S_{\text{geo}}$ от второго члена будет равна:

$$S_{\text{geo}} = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{x}{1 — x}.$$

Общая сумма $S$ будет:

$$S = \frac{1}{x} + \frac{x}{1 — x}.$$

Из условия задачи нам известно, что $S = \frac{7}{2}$. Подставим это значение в выражение для $S$:

$$\frac{1}{x} + \frac{x}{1 — x} = \frac{7}{2}.$$

Теперь решим это уравнение.

Для удобства умножим обе части уравнения на $2x(1 — x)$ (это общее кратное знаменателей):

$$2x(1 — x) \left( \frac{1}{x} + \frac{x}{1 — x} \right) = 2x(1 — x) \cdot \frac{7}{2}.$$

Упростим:

$$2(1 — x) + 2x^2 = 7x(1 — x).$$

Раскроем скобки:

$$2 — 2x + 2x^2 = 7x — 7x^2.$$

Теперь соберем все элементы в одну сторону:

$$2 — 2x + 2x^2 — 7x + 7x^2 = 0.$$

Собираем подобные слагаемые:

$$2 — 9x + 9x^2 = 0.$$

Это квадратное уравнение относительно $x$:

$$9x^2 — 9x + 2 = 0.$$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта.

Дискриминант:

$$D = (-9)^2 — 4 \cdot 9 \cdot 2 = 81 — 72 = 9.$$

Корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-(-9) — \sqrt{9}}{2 \cdot 9} = \frac{9 — 3}{18} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3},$$ $$x_2 = \frac{-(-9) + \sqrt{9}}{2 \cdot 9} = \frac{9 + 3}{18} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}.$$

Ответ: $x_1 = \frac{1}{3}, \, x_2 = \frac{2}{3}$.

б) Сумма ряда:

$$S = 2x + 1 + x^2 — x^3 + x^4 — x^5 + \cdots = \frac{13}{6}.$$

Здесь также имеем сумму двух частей:

1. $2x + 1$ — это первые два члена,
2. Далее идет бесконечная геометрическая прогрессия начиная с $x^2$.

Рассмотрим геометрическую прогрессию.

• Первый член прогрессии $b_1 = x^2$,
• Второй член $b_2 = -x^3$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$:

$$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-x^3}{x^2} = -x.$$

Теперь применим формулу для суммы бесконечной геометрической прогрессии.

Сумма прогрессии $S_{\text{geo}}$ от третьего члена:

$$S_{\text{geo}} = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{x^2}{1 + x}.$$

Общая сумма $S$ будет:

$$S = 2x + 1 + \frac{x^2}{1 + x}.$$

Из условия задачи нам известно, что $S = \frac{13}{6}$. Подставим это значение в уравнение:

$$2x + 1 + \frac{x^2}{1 + x} = \frac{13}{6}.$$

Решим это уравнение.

Для удобства умножим обе части уравнения на 6:

$$6 \left( 2x + 1 + \frac{x^2}{1 + x} \right) = 13.$$

Раскроем скобки:

$$6(2x + 1) + \frac{6x^2}{1 + x} = 13.$$

Упростим:

$$12x + 6 + \frac{6x^2}{1 + x} = 13.$$

Теперь перенесем все на одну сторону:

$$12x + 6 + \frac{6x^2}{1 + x} — 13 = 0,$$ $$12x — 7 + \frac{6x^2}{1 + x} = 0.$$

Умножим на $1 + x$, чтобы избавиться от дроби:

$$(12x — 7)(1 + x) + 6x^2 = 0.$$

Раскроем скобки:

$$(12x — 7)(1 + x) = 12x + 12x^2 — 7 — 7x.$$

Теперь подставим это в уравнение:

$$12x + 12x^2 — 7 — 7x + 6x^2 = 0.$$

Собираем подобные слагаемые:

$$18x^2 + 5x — 7 = 0.$$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта.

Дискриминант:

$$D = 5^2 — 4 \cdot 18 \cdot (-7) = 25 + 504 = 529 = 23^2.$$

Корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-5 — 23}{2 \cdot 18} = \frac{-28}{36} = -\frac{7}{9},$$ $$x_2 = \frac{-5 + 23}{2 \cdot 18} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}.$$

Ответ: $x_1 = -\frac{7}{9}, \, x_2 = \frac{1}{2}$.