ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 38.38 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $S = \sin x + \sin^2 x + \sin^3 x + \cdots + \sin^n x + \cdots = 5$;

б) $S = \cos x — \cos^2 x + \cos^3 x — \cdots + (-1)^{n-1} \cos^n x + \cdots = 2$;

в) $S = 1 + \sin^2 x + \sin^4 x + \cdots + (\sin x)^{2n-2} + \cdots = \frac{4}{3}$;

г) $S = 7 \cos^3 x + 7 \cos^6 x + \cdots + 7 (\cos x)^{3n} + \cdots = 1$

а) $S = \sin x + \sin^2 x + \sin^3 x + \cdots + \sin^n x + \cdots = 5$;

Имеем геометрическую прогрессию:

$$b_1 = \sin x \quad \text{и} \quad b_2 = \sin^2 x;$$ $$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\sin^2 x}{\sin x} = \sin x;$$ $$S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{\sin x}{1 — \sin x} = 5;$$ $$\sin x = 5(1 — \sin x);$$ $$\sin x = 5 — 5 \sin x;$$ $$6 \sin x = 5;$$ $$\sin x = \frac{5}{6};$$

Ответ: $x = (-1)^n \arcsin \frac{5}{6} + \pi n$.

б) $S = \cos x — \cos^2 x + \cos^3 x — \cdots + (-1)^{n-1} \cos^n x + \cdots = 2$;

Имеем геометрическую прогрессию:

$$b_1 = \cos x \quad \text{и} \quad b_2 = -\cos^2 x;$$ $$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-\cos^2 x}{\cos x} = -\cos x;$$ $$S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{\cos x}{1 + \cos x} = 2;$$ $$\cos x = 2(1 + \cos x);$$ $$\cos x = 2 + 2 \cos x;$$ $$\cos x = -2;$$

Ответ: нет корней.

в) $S = 1 + \sin^2 x + \sin^4 x + \cdots + (\sin x)^{2n-2} + \cdots = \frac{4}{3}$;

Имеем геометрическую прогрессию:

$$b_1 = 1 \quad \text{и} \quad b_2 = \sin^2 x;$$ $$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\sin^2 x}{1} = \sin^2 x;$$ $$S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{1}{1 — \sin^2 x} = \frac{4}{3};$$ $$\frac{1}{1 — (1 — \cos^2 x)} = \frac{4}{3};$$ $$\frac{1}{\cos^2 x} = \frac{4}{3};$$ $$\cos^2 x = \frac{3}{4};$$ $$\cos x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2};$$ $$x = \pm \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi n = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n;$$

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$.

г) $S = 7 \cos^3 x + 7 \cos^6 x + \cdots + 7 (\cos x)^{3n} + \cdots = 1$;

Имеем геометрическую прогрессию:

$$b_1 = 7 \cos^3 x \quad \text{и} \quad b_2 = 7 \cos^6 x;$$ $$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{7 \cos^6 x}{7 \cos^3 x} = \cos^3 x;$$ $$S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{7 \cos^3 x}{1 — \cos^3 x} = 1;$$ $$7 \cos^3 x = 1 — \cos^3 x;$$ $$8 \cos^3 x = 1;$$ $$\cos^3 x = \frac{1}{8};$$ $$\cos x = \frac{1}{2};$$ $$x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2 \pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2 \pi n;$$

Ответ: $\pm \frac{\pi}{3} + 2 \pi n$.

а) $S = \sin x + \sin^2 x + \sin^3 x + \cdots + \sin^n x + \cdots = 5$

Шаг 1: Признаки геометрической прогрессии

Задана бесконечная сумма, которая является геометрической прогрессией. Сначала выделим элементы прогрессии:

• Первый элемент: $b_1 = \sin x$
• Второй элемент: $b_2 = \sin^2 x$

Параметры геометрической прогрессии:

• $b_1 = \sin x$
• $b_2 = \sin^2 x$
• Общий множитель прогрессии: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\sin^2 x}{\sin x} = \sin x$

Шаг 2: Формула для суммы бесконечной геометрической прогрессии

Сумма бесконечной геометрической прогрессии может быть найдена по формуле:

$$S = \frac{b_1}{1 — q}$$

где $|q| < 1$. Подставим значения:

$$S = \frac{\sin x}{1 — \sin x}$$

Шаг 3: Условие задачи

Нам известно, что сумма данной прогрессии равна 5:

$$\frac{\sin x}{1 — \sin x} = 5$$

Шаг 4: Решение уравнения

Решим это уравнение относительно $\sin x$:

1. Умножим обе части на $1 — \sin x$:

   $$\sin x = 5(1 — \sin x)$$

2. Раскроем скобки:

   $$\sin x = 5 — 5 \sin x$$

3. Переносим все члены с $\sin x$ в одну сторону:

   $$\sin x + 5 \sin x = 5$$ $$6 \sin x = 5$$

4. Разделим обе стороны на 6:

   $$\sin x = \frac{5}{6}$$

Шаг 5: Ответ

Решение для $\sin x = \frac{5}{6}$ даёт следующее значение для $x$:

$$x = (-1)^n \arcsin \frac{5}{6} + \pi n$$

Ответ: $x = (-1)^n \arcsin \frac{5}{6} + \pi n$.

б) $S = \cos x — \cos^2 x + \cos^3 x — \cdots + (-1)^{n-1} \cos^n x + \cdots = 2$

Шаг 1: Признаки геометрической прогрессии

Это тоже геометрическая прогрессия, только с изменяющимися знаками. Сначала определим элементы прогрессии:

• Первый элемент: $b_1 = \cos x$
• Второй элемент: $b_2 = -\cos^2 x$

Параметры геометрической прогрессии:

• $b_1 = \cos x$
• $b_2 = -\cos^2 x$
• Общий множитель прогрессии: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-\cos^2 x}{\cos x} = -\cos x$

Шаг 2: Формула для суммы бесконечной геометрической прогрессии

По аналогии с предыдущей задачей, используем формулу для суммы бесконечной геометрической прогрессии:

$$S = \frac{b_1}{1 — q}$$

Подставляем значения:

$$S = \frac{\cos x}{1 + \cos x}$$

Шаг 3: Условие задачи

Нам известно, что сумма данной прогрессии равна 2:

$$\frac{\cos x}{1 + \cos x} = 2$$

Шаг 4: Решение уравнения

Решим это уравнение относительно $\cos x$:

1. Умножим обе части на $1 + \cos x$:

   $$\cos x = 2(1 + \cos x)$$

2. Раскроем скобки:

   $$\cos x = 2 + 2 \cos x$$

3. Переносим все члены с $\cos x$ в одну сторону:

   $$\cos x — 2 \cos x = 2$$ $$-\cos x = 2$$

4. Умножаем обе стороны на -1:

   $$\cos x = -2$$

Шаг 5: Ответ

Так как $\cos x$ не может быть больше 1 или меньше -1, то решения уравнения нет.

Ответ: нет корней.

в) $S = 1 + \sin^2 x + \sin^4 x + \cdots + (\sin x)^{2n-2} + \cdots = \frac{4}{3}$

Шаг 1: Признаки геометрической прогрессии

Здесь также геометрическая прогрессия, но члены прогрессии включают степени синуса с четными показателями. Определим элементы прогрессии:

• Первый элемент: $b_1 = 1$
• Второй элемент: $b_2 = \sin^2 x$

Параметры геометрической прогрессии:

• $b_1 = 1$
• $b_2 = \sin^2 x$
• Общий множитель прогрессии: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\sin^2 x}{1} = \sin^2 x$

Шаг 2: Формула для суммы бесконечной геометрической прогрессии

Используем формулу для суммы бесконечной геометрической прогрессии:

$$S = \frac{b_1}{1 — q}$$

Подставляем значения:

$$S = \frac{1}{1 — \sin^2 x}$$

Шаг 3: Условие задачи

Нам известно, что сумма данной прогрессии равна $\frac{4}{3}$:

$$\frac{1}{1 — \sin^2 x} = \frac{4}{3}$$

Шаг 4: Решение уравнения

Решим это уравнение относительно $\sin x$:

1. Умножим обе части на $1 — \sin^2 x$:

   $$1 = \frac{4}{3}(1 — \sin^2 x)$$

2. Умножим обе части на 3:

   $$3 = 4(1 — \sin^2 x)$$

3. Раскроем скобки:

   $$3 = 4 — 4 \sin^2 x$$

4. Переносим все члены в одну сторону:

   $$4 \sin^2 x = 1$$

5. Разделим обе стороны на 4:

   $$\sin^2 x = \frac{1}{4}$$

6. Извлекаем квадратный корень:

   $$\sin x = \pm \frac{1}{2}$$

Шаг 5: Ответ

Решение для $\sin x = \pm \frac{1}{2}$ даёт следующее значение для $x$:

$$x = \pm \arcsin \frac{1}{2} + 2 \pi n = \pm \frac{\pi}{6} + 2 \pi n$$

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + 2 \pi n$.

г) $S = 7 \cos^3 x + 7 \cos^6 x + \cdots + 7 (\cos x)^{3n} + \cdots = 1$

Шаг 1: Признаки геометрической прогрессии

Здесь элементы прогрессии содержат степени косинуса с кратными 3. Определим элементы прогрессии:

• Первый элемент: $b_1 = 7 \cos^3 x$
• Второй элемент: $b_2 = 7 \cos^6 x$

Параметры геометрической прогрессии:

• $b_1 = 7 \cos^3 x$
• $b_2 = 7 \cos^6 x$
• Общий множитель прогрессии: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{7 \cos^6 x}{7 \cos^3 x} = \cos^3 x$

Шаг 2: Формула для суммы бесконечной геометрической прогрессии

Используем формулу для суммы бесконечной геометрической прогрессии:

$$S = \frac{b_1}{1 — q}$$

Подставляем значения:

$$S = \frac{7 \cos^3 x}{1 — \cos^3 x}$$

Шаг 3: Условие задачи

Нам известно, что сумма данной прогрессии равна 1:

$$\frac{7 \cos^3 x}{1 — \cos^3 x} = 1$$

Шаг 4: Решение уравнения

Решим это уравнение относительно $\cos x$:

1. Умножим обе части на $1 — \cos^3 x$:

   $$7 \cos^3 x = 1 — \cos^3 x$$

2. Переносим все члены с $\cos^3 x$ в одну сторону:

   $$7 \cos^3 x + \cos^3 x = 1$$ $$8 \cos^3 x = 1$$

3. Разделим обе стороны на 8:

   $$\cos^3 x = \frac{1}{8}$$

4. Извлекаем кубический корень:

   $$\cos x = \frac{1}{2}$$

Шаг 5: Ответ

Решение для $\cos x = \frac{1}{2}$ даёт следующее значение для $x$:

$$x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2 \pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2 \pi n$$

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2 \pi n$.