ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 38.4 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Существует ли номер $n_0$, начиная с которого все члены последовательности ($x_n$) попадают в окрестность точки а радиуса r = 0,1, если:

а) $x_n = \frac{1}{n^2}$, $a = 0$, $r = 0,1$;

б) $x_n = \frac{1}{n^2}$, $a = 1$, $r = 0,1$;

в) $x_n = \frac{n}{n+1}$, $a = 0$, $r = 0,1$;

г) $x_n = \frac{n}{n+1}$, $a = 1$, $r = 0,1$

а) $x_n = \frac{1}{n^2}$, $a = 0$ и $r = 0,1$;

$0 — 0,1 < \frac{1}{n^2} < 0 + 0,1;$

$-\frac{1}{10} < \frac{1}{n^2} < \frac{1}{10};$

$\frac{1}{n^2} < \frac{1}{10};$

$n^2 > 10;$

$n > \sqrt{10};$

$n > 3,16;$

Ответ: да, начиная с $n = 4$.

б) $x_n = \frac{1}{n^2}$, $a = 1$ и $r = 0,1$;

$1 — 0,1 < \frac{1}{n^2} < 1 + 0,1;$

$\frac{9}{10} < \frac{1}{n^2} < \frac{11}{10};$

Первое неравенство:

$\frac{9}{10} < \frac{1}{n^2};$

$9n^2 < 10;$

$n^2 < \frac{10}{9};$

$n < \sqrt{\frac{10}{9}};$

$n < \sqrt{1,11};$

$n < 1,05;$

$n = 1$;

Ответ: нет.

в) $x_n = \frac{n}{n+1}$, $a = 0$ и $r = 0,1$;

$x_n = \frac{n+1-1}{n+1} = 1 — \frac{1}{n+1};$

$0 — 0,1 < 1 — \frac{1}{n+1} < 0 + 0,1;$

$-\frac{1}{10} < 1 — \frac{1}{n+1} < \frac{1}{10};$

$-\frac{11}{10} < -\frac{1}{n+1} < -\frac{9}{10};$

$\frac{9}{10} < \frac{1}{n+1};$

$9(n+1) < 10;$

$9n + 9 < 10;$

$9n < 1;$

$n < \frac{1}{9};$

$n$ не существует;

Ответ: нет.

г) $x_n = \frac{n}{n+1}$, $a = 1$ и $r = 0,1$;

$x_n = \frac{n+1-1}{n+1} = 1 — \frac{1}{n+1};$

$1 — 0,1 < 1 — \frac{1}{n+1} < 1 + 0,1;$

$\frac{9}{10} < 1 — \frac{1}{n+1} < \frac{11}{10};$

$-\frac{1}{10} < -\frac{1}{n+1} < \frac{1}{10};$

$\frac{1}{n+1} < \frac{1}{10};$

$n+1 > 10;$

$n > 9;$

Ответ: да, начиная с $n = 10$.

Итак, нам нужно проверить для каждого случая, существует ли $n_0$, начиная с которого все члены последовательности $x_n$ попадают в окрестность точки $a$ радиуса $r = 0,1$. То есть нужно выяснить, существует ли $n_0$, начиная с которого выполняется неравенство:

$$|x_n — a| < r$$

где $r = 0,1$, а $a$ — это точка, к которой сходится последовательность.

а) $x_n = \frac{1}{n^2}$, $a = 0$ и $r = 0,1$

Для начала запишем условие, которое должно быть выполнено, чтобы члены последовательности попадали в окрестность точки $a = 0$ радиуса $r = 0,1$:

$$|x_n — a| < r$$

Подставляем в это неравенство $a = 0$ и $r = 0,1$:

$$|x_n| < 0,1$$

Это означает, что нам нужно найти, начиная с какого номера $n$, выполняется неравенство:

$$\left| \frac{1}{n^2} \right| < 0,1$$

Поскольку $\frac{1}{n^2} > 0$, можно избавиться от модуля:

$$\frac{1}{n^2} < 0,1$$

Теперь умножим обе части на $n^2$ и решим неравенство относительно $n$:

$$1 < 0,1n^2$$ $$n^2 > 10$$ $$n > \sqrt{10}$$

Так как $\sqrt{10} \approx 3,16$, это означает, что начиная с $n = 4$ все члены последовательности будут попадать в окрестность точки $a = 0$ радиуса $r = 0,1$.

Ответ: да, начиная с $n = 4$.

б) $x_n = \frac{1}{n^2}$, $a = 1$ и $r = 0,1$

Теперь для этой последовательности подставляем $a = 1$ и $r = 0,1$ в неравенство $|x_n — a| < r$:

$$|x_n — 1| < 0,1$$

Подставляем выражение для $x_n$:

$$\left| \frac{1}{n^2} — 1 \right| < 0,1$$

Приводим к общему знаменателю:

$$\left| \frac{1 — n^2}{n^2} \right| < 0,1$$

Это неравенство можно переписать как:

$$\frac{|1 — n^2|}{n^2} < 0,1$$

Теперь умножим обе части неравенства на $n^2$ и получим:

$$|1 — n^2| < 0,1n^2$$

Рассмотрим два случая: $1 — n^2$ и $n^2 — 1$.

Для $1 — n^2 < 0$ получаем:

$$n^2 — 1 < 0,1n^2$$ $$n^2 — 0,1n^2 < 1$$ $$0,9n^2 < 1$$ $$n^2 < \frac{1}{0,9}$$ $$n^2 < 1,11$$ $$n < \sqrt{1,11} \approx 1,05$$

Таким образом, $n < 1,05$, и в целом $n = 1$.

Ответ: нет, для $n = 1$ выполняется условие, но для $n > 1$ уже не выполняется.

в) $x_n = \frac{n}{n+1}$, $a = 0$ и $r = 0,1$

Теперь рассматриваем последовательность $x_n = \frac{n}{n+1}$, при $a = 0$ и $r = 0,1$.

Запишем условие попадания в окрестность точки $a = 0$:

$$|x_n — 0| < 0,1$$

Это означает:

$$\left| \frac{n}{n+1} \right| < 0,1$$

Поскольку $\frac{n}{n+1} > 0$, можно избавиться от модуля:

$$\frac{n}{n+1} < 0,1$$

Теперь решим это неравенство:

$$n < 0,1(n + 1)$$

Раскроем скобки:

$$n < 0,1n + 0,1$$

Переносим все слагаемые с $n$ влево:

$$n — 0,1n < 0,1$$ $$0,9n < 0,1$$ $$n < \frac{0,1}{0,9} \approx 0,11$$

Таким образом, $n$ не существует, так как для $n \geq 1$ не выполняется это неравенство.

Ответ: нет.

г) $x_n = \frac{n}{n+1}$, $a = 1$ и $r = 0,1$

Для этой последовательности подставляем $a = 1$ и $r = 0,1$ в неравенство $|x_n — a| < r$:

$$\left| \frac{n}{n+1} — 1 \right| < 0,1$$

Преобразуем выражение в скобках:

$$\left| \frac{n}{n+1} — 1 \right| = \left| \frac{n — (n+1)}{n+1} \right| = \left| \frac{-1}{n+1} \right| = \frac{1}{n+1}$$

Теперь получаем неравенство:

$$\frac{1}{n+1} < 0,1$$

Умножим обе части на $n+1$:

$$1 < 0,1(n+1)$$

Раскроем скобки:

$$1 < 0,1n + 0,1$$

Переносим все слагаемые влево:

$$1 — 0,1 < 0,1n$$ $$0,9 < 0,1n$$

Делим обе части на $0,1$:

$$n > 9$$

Ответ: да, начиная с $n = 10$.

Итог:

а) Да, начиная с $n = 4$.

б) Нет.

в) Нет.

г) Да, начиная с $n = 10$.