ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 38.6 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Укажите номер $n_0$ того члена последовательности ($x_n$), начиная с которого все члены последовательности попадут в окрестность точки а радиуса r:

а) $x_n = \left( \frac{1}{3} \right)^n$, $a = 0$, $r = \frac{1}{27}$;

б) $x_n = (-1)^n \cdot \frac{1}{2^n}$, $a = 0$, $r = \frac{1}{64}$;

в) $x_n = 2 + \left( \frac{1}{2} \right)^n$, $a = 2$, $r = \frac{1}{128}$;

г) $x_n = 3 — \left( \frac{1}{3} \right)^n$, $a = 3$, $r = \frac{1}{81}$

а) $x_n = \left( \frac{1}{3} \right)^n$, $a = 0$, $r = \frac{1}{27}$;

$$0 — \frac{1}{27} < \left( \frac{1}{3} \right)^n < 0 + \frac{1}{27};$$ $$\left( \frac{1}{3} \right)^n < \frac{1}{27};$$ $$3^n > 27;$$ $$3^n > 3^3;$$ $$n > 3;$$

Ответ: $n = 4$.

б) $x_n = (-1)^n \cdot \frac{1}{2^n}$, $a = 0$, $r = \frac{1}{64}$;

$$0 — \frac{1}{64} < (-1)^n \cdot \frac{1}{2^n} < 0 + \frac{1}{64};$$ $$— \frac{1}{64} < \frac{1}{2^n} < \frac{1}{64};$$ $$\frac{1}{2^n} < \frac{1}{64};$$ $$2^n > 64;$$ $$2^n > 2^6;$$ $$n > 6;$$

Ответ: $n = 7$.

в) $x_n = 2 + \left( \frac{1}{2} \right)^n$, $a = 2$, $r = \frac{1}{128}$;

$$2 — \frac{1}{128} < 2 + \left( \frac{1}{2} \right)^n < 2 + \frac{1}{128};$$ $$— \frac{1}{128} < \left( \frac{1}{2} \right)^n < \frac{1}{128};$$ $$\left( \frac{1}{2} \right)^n < \frac{1}{128};$$ $$2^n > 128;$$ $$2^n > 2^7;$$ $$n > 7;$$

Ответ: $n = 8$.

г) $x_n = 3 — \left( \frac{1}{3} \right)^n$, $a = 3$, $r = \frac{1}{81}$;

$$3 — \frac{1}{81} < 3 — \left( \frac{1}{3} \right)^n < 3 + \frac{1}{81};$$ $$— \frac{1}{81} < \left( \frac{1}{3} \right)^n < \frac{1}{81};$$ $$\left( \frac{1}{3} \right)^n < \frac{1}{81};$$ $$3^n > 81;$$ $$3^n > 3^4;$$ $$n > 4;$$

Ответ: $n = 5$.

Для последовательности $x_n$ и данной точки $a$ (где последовательность сходится к $a$) радиус окрестности $r$, нам необходимо найти такое $n_0$, что для всех $n \geq n_0$ выполняется неравенство:

$$|x_n — a| < r$$

Этот критерий определяет, что члены последовательности попадают в окрестность точки $a$ радиуса $r$.

а) $x_n = \left( \frac{1}{3} \right)^n$, $a = 0$, $r = \frac{1}{27}$

Здесь последовательность $x_n = \left( \frac{1}{3} \right)^n$ является убывающей и сходящейся к 0. Чтобы найти $n_0$, нужно решить неравенство:

$$|x_n — a| < r$$

Подставляем значения:

$$\left| \left( \frac{1}{3} \right)^n — 0 \right| < \frac{1}{27}$$

Это можно переписать как:

$$\left( \frac{1}{3} \right)^n < \frac{1}{27}$$

Преобразуем это неравенство:

$$3^n > 27$$

Так как $27 = 3^3$, получаем:

$$3^n > 3^3$$

Таким образом, $n > 3$. Следовательно, $n_0 = 4$, начиная с этого значения, все члены последовательности попадают в окрестность $a$ радиуса $r$.

Ответ: $n_0 = 4$.

б) $x_n = (-1)^n \cdot \frac{1}{2^n}$, $a = 0$, $r = \frac{1}{64}$

Здесь последовательность $x_n = (-1)^n \cdot \frac{1}{2^n}$ также сходится к 0. Решаем неравенство:

$$|x_n — a| < r$$

Подставляем значения:

$$\left| (-1)^n \cdot \frac{1}{2^n} — 0 \right| < \frac{1}{64}$$

Это можно переписать как:

$$\frac{1}{2^n} < \frac{1}{64}$$

Преобразуем это неравенство:

$$2^n > 64$$

Так как $64 = 2^6$, получаем:

$$2^n > 2^6$$

Таким образом, $n > 6$. Следовательно, $n_0 = 7$, начиная с этого значения, все члены последовательности попадают в окрестность $a$ радиуса $r$.

Ответ: $n_0 = 7$.

в) $x_n = 2 + \left( \frac{1}{2} \right)^n$, $a = 2$, $r = \frac{1}{128}$

Здесь последовательность $x_n = 2 + \left( \frac{1}{2} \right)^n$ сходится к 2. Решаем неравенство:

$$|x_n — a| < r$$

Подставляем значения:

$$\left| 2 + \left( \frac{1}{2} \right)^n — 2 \right| < \frac{1}{128}$$

Это можно переписать как:

$$\left( \frac{1}{2} \right)^n < \frac{1}{128}$$

Преобразуем это неравенство:

$$2^n > 128$$

Так как $128 = 2^7$, получаем:

$$2^n > 2^7$$

Таким образом, $n > 7$. Следовательно, $n_0 = 8$, начиная с этого значения, все члены последовательности попадают в окрестность $a$ радиуса $r$.

Ответ: $n_0 = 8$.

г) $x_n = 3 — \left( \frac{1}{3} \right)^n$, $a = 3$, $r = \frac{1}{81}$

Здесь последовательность $x_n = 3 — \left( \frac{1}{3} \right)^n$ сходится к 3. Решаем неравенство:

$$|x_n — a| < r$$

Подставляем значения:

$$\left| 3 — \left( \frac{1}{3} \right)^n — 3 \right| < \frac{1}{81}$$

Это можно переписать как:

$$\left( \frac{1}{3} \right)^n < \frac{1}{81}$$

Преобразуем это неравенство:

$$3^n > 81$$

Так как $81 = 3^4$, получаем:

$$3^n > 3^4$$

Таким образом, $n > 4$. Следовательно, $n_0 = 5$, начиная с этого значения, все члены последовательности попадают в окрестность $a$ радиуса $r$.

Ответ: $n_0 = 5$.

Итоговые ответы:

1. $n_0 = 4$
2. $n_0 = 7$
3. $n_0 = 8$
4. $n_0 = 5$