ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 38.9 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Постройте график последовательности ($y_n$) и составьте, если можно, уравнение горизонтальной асимптоты графика:

а) $y_n = 2 + (-1)^n \cdot \frac{1}{n}$;

б) $y_n = (-1)^n \cdot 2 + \frac{1}{n}$;

в) $y_n = -3 + (-1)^n \cdot \frac{2}{n}$;

г) $y_n = (-1)^{n+1} \cdot 3 — \frac{2}{n}$

а) $y_n = 2 + (-1)^n \cdot \frac{1}{n}$;

Значения последовательности:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline y & 1 & 2\frac{1}{2} & 1\frac{2}{3} & 2\frac{1}{4} & 1\frac{4}{5} & 2\frac{1}{6} & 1\frac{6}{7} & 2\frac{1}{8} \\ \hline \end{array}$$

Уравнение горизонтальной асимптоты:

$$y = \lim_{n \to \infty} \left( 2 + \frac{(-1)^n}{n} \right) = 2 + 0 = 2;$$

График функции:

б) $y_n = (-1)^n \cdot 2 + \frac{1}{n}$;

Значения последовательности:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline y & -1 & 2\frac{1}{2} & -1\frac{2}{3} & 2\frac{1}{4} & -1\frac{4}{5} & 2\frac{1}{6} & -1\frac{6}{7} & 2\frac{1}{8} \\ \hline \end{array}$$

Уравнение горизонтальной асимптоты:

$$y = \lim_{n \to \infty} \left( (-1)^n \cdot 2 + \frac{1}{n} \right) — \text{не существует};$$

График функции:

в) $y_n = -3 + (-1)^n \cdot \frac{2}{n}$;

Значения последовательности:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline y & -5 & -2 & -3\frac{2}{3} & -2\frac{1}{2} & -3\frac{2}{5} & -2\frac{2}{3} & -3\frac{2}{7} & -2\frac{3}{4} \\ \hline \end{array}$$

Уравнение горизонтальной асимптоты:

$$y = \lim_{n \to \infty} \left( -3 + \frac{(-1)^n \cdot 2}{n} \right) = -3 + 0 = -3;$$

График функции:

г) $y_n = (-1)^{n+1} \cdot 3 — \frac{2}{n}$;

Значения последовательности:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline y & -5 & 2 & -3\frac{2}{3} & 2\frac{1}{4} & -3\frac{2}{5} & 2\frac{2}{3} & -3\frac{2}{7} & 2\frac{3}{4} \\ \hline \end{array}$$

Уравнение горизонтальной асимптоты:

$$y = \lim_{n \to \infty} \left( (-1)^{n+1} \cdot 3 — \frac{2}{n} \right) — \text{не существует};$$

График функции:

а) $y_n = 2 + (-1)^n \cdot \frac{1}{n}$;

Значения последовательности:

Последовательность задается формулой $y_n = 2 + (-1)^n \cdot \frac{1}{n}$. Рассмотрим значения $y_n$ для различных $n$.

• При $n = 1$:

  $$y_1 = 2 + (-1)^1 \cdot \frac{1}{1} = 2 — 1 = 1.$$

• При $n = 2$:

  $$y_2 = 2 + (-1)^2 \cdot \frac{1}{2} = 2 + \frac{1}{2} = 2 \frac{1}{2}.$$

• При $n = 3$:

  $$y_3 = 2 + (-1)^3 \cdot \frac{1}{3} = 2 — \frac{1}{3} = 1 \frac{2}{3}.$$

• При $n = 4$:

  $$y_4 = 2 + (-1)^4 \cdot \frac{1}{4} = 2 + \frac{1}{4} = 2 \frac{1}{4}.$$

• При $n = 5$:

  $$y_5 = 2 + (-1)^5 \cdot \frac{1}{5} = 2 — \frac{1}{5} = 1 \frac{4}{5}.$$

• При $n = 6$:

  $$y_6 = 2 + (-1)^6 \cdot \frac{1}{6} = 2 + \frac{1}{6} = 2 \frac{1}{6}.$$

• При $n = 7$:

  $$y_7 = 2 + (-1)^7 \cdot \frac{1}{7} = 2 — \frac{1}{7} = 1 \frac{6}{7}.$$

• При $n = 8$:

  $$y_8 = 2 + (-1)^8 \cdot \frac{1}{8} = 2 + \frac{1}{8} = 2 \frac{1}{8}.$$

Таблица значений последовательности:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline y & 1 & 2\frac{1}{2} & 1\frac{2}{3} & 2\frac{1}{4} & 1\frac{4}{5} & 2\frac{1}{6} & 1\frac{6}{7} & 2\frac{1}{8} \\ \hline \end{array}$$

Уравнение горизонтальной асимптоты:

Горизонтальная асимптота функции — это линия, к которой приближается график функции при $n \to \infty$. Для последовательности $y_n = 2 + (-1)^n \cdot \frac{1}{n}$, мы можем вычислить предел при $n \to \infty$.

$$\lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} \left( 2 + \frac{(-1)^n}{n} \right).$$

Так как $\frac{(-1)^n}{n} \to 0$ при $n \to \infty$, то

$$\lim_{n \to \infty} y_n = 2 + 0 = 2.$$

Таким образом, горизонтальная асимптота этой последовательности — это линия $y = 2$.

График функции:

График будет показывать, что значения последовательности приближаются к горизонтальной асимптоте $y = 2$. Точки на графике будут колебаться вверх и вниз около этой линии, но с каждым шагом они будут все ближе и ближе к ней.

б) $y_n = (-1)^n \cdot 2 + \frac{1}{n}$;

Значения последовательности:

Рассмотрим значения последовательности для разных $n$.

• При $n = 1$:

  $$y_1 = (-1)^1 \cdot 2 + \frac{1}{1} = -2 + 1 = -1.$$

• При $n = 2$:

  $$y_2 = (-1)^2 \cdot 2 + \frac{1}{2} = 2 + \frac{1}{2} = 2 \frac{1}{2}.$$

• При $n = 3$:

  $$y_3 = (-1)^3 \cdot 2 + \frac{1}{3} = -2 + \frac{1}{3} = -1 \frac{2}{3}.$$

• При $n = 4$:

  $$y_4 = (-1)^4 \cdot 2 + \frac{1}{4} = 2 + \frac{1}{4} = 2 \frac{1}{4}.$$

• При $n = 5$:

  $$y_5 = (-1)^5 \cdot 2 + \frac{1}{5} = -2 + \frac{1}{5} = -1 \frac{4}{5}.$$

• При $n = 6$:

  $$y_6 = (-1)^6 \cdot 2 + \frac{1}{6} = 2 + \frac{1}{6} = 2 \frac{1}{6}.$$

• При $n = 7$:

  $$y_7 = (-1)^7 \cdot 2 + \frac{1}{7} = -2 + \frac{1}{7} = -1 \frac{6}{7}.$$

• При $n = 8$:

  $$y_8 = (-1)^8 \cdot 2 + \frac{1}{8} = 2 + \frac{1}{8} = 2 \frac{1}{8}.$$

Таблица значений:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline y & -1 & 2\frac{1}{2} & -1\frac{2}{3} & 2\frac{1}{4} & -1\frac{4}{5} & 2\frac{1}{6} & -1\frac{6}{7} & 2\frac{1}{8} \\ \hline \end{array}$$

Уравнение горизонтальной асимптоты:

Для этой последовательности мы также будем искать предел при $n \to \infty$:

$$\lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} \left( (-1)^n \cdot 2 + \frac{1}{n} \right).$$

Однако, значение $(-1)^n$ будет чередоваться между $2$ и $-2$, а $\frac{1}{n}$ стремится к нулю, но не зависит от знака $(-1)^n$. Следовательно, эта последовательность не имеет горизонтальной асимптоты, так как ее значения не приближаются к какой-либо фиксированной величине, а продолжают колебаться.

Таким образом, асимптоты не существует.

График функции:

График этой последовательности будет показывать колебания вокруг оси $y = 0$, но не будет стремиться к какой-либо фиксированной горизонтальной линии, поскольку значения последовательности продолжают изменяться.

в) $y_n = -3 + (-1)^n \cdot \frac{2}{n}$;

Значения последовательности:

Рассмотрим значения для разных $n$.

• При $n = 1$:

  $$y_1 = -3 + (-1)^1 \cdot \frac{2}{1} = -3 — 2 = -5.$$

• При $n = 2$:

  $$y_2 = -3 + (-1)^2 \cdot \frac{2}{2} = -3 + 1 = -2.$$

• При $n = 3$:

  $$y_3 = -3 + (-1)^3 \cdot \frac{2}{3} = -3 — \frac{2}{3} = -3 \frac{2}{3}.$$

• При $n = 4$:

  $$y_4 = -3 + (-1)^4 \cdot \frac{2}{4} = -3 + \frac{1}{2} = -2 \frac{1}{2}.$$

• При $n = 5$:

  $$y_5 = -3 + (-1)^5 \cdot \frac{2}{5} = -3 — \frac{2}{5} = -3 \frac{2}{5}.$$

• При $n = 6$:

  $$y_6 = -3 + (-1)^6 \cdot \frac{2}{6} = -3 + \frac{1}{3} = -2 \frac{2}{3}.$$

• При $n = 7$:

  $$y_7 = -3 + (-1)^7 \cdot \frac{2}{7} = -3 — \frac{2}{7} = -3 \frac{2}{7}.$$

• При $n = 8$:

  $$y_8 = -3 + (-1)^8 \cdot \frac{2}{8} = -3 + \frac{1}{4} = -2 \frac{3}{4}.$$

Таблица значений:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline y & -5 & -2 & -3\frac{2}{3} & -2\frac{1}{2} & -3\frac{2}{5} & -2\frac{2}{3} & -3\frac{2}{7} & -2\frac{3}{4} \\ \hline \end{array}$$

Уравнение горизонтальной асимптоты:

Мы вычисляем предел при $n \to \infty$:

$$\lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} \left( -3 + \frac{(-1)^n \cdot 2}{n} \right).$$

Так как $\frac{(-1)^n \cdot 2}{n} \to 0$, получаем:

$$\lim_{n \to \infty} y_n = -3 + 0 = -3.$$

Итак, горизонтальная асимптота — это линия $y = -3$.

График функции:

График будет показывать, как значения последовательности приближаются к горизонтальной асимптоте $y = -3$. Точки на графике будут колебаться вокруг этой линии, но с каждым шагом они будут все ближе к ней.

г) $y_n = (-1)^{n+1} \cdot 3 — \frac{2}{n}$;

Значения последовательности:

Рассмотрим значения для разных $n$.

• При $n = 1$:

  $$y_1 = (-1)^{1+1} \cdot 3 — \frac{2}{1} = 3 — 2 = 1.$$

• При $n = 2$:

  $$y_2 = (-1)^{2+1} \cdot 3 — \frac{2}{2} = -3 — 1 = -4.$$

• При $n = 3$:

  $$y_3 = (-1)^{3+1} \cdot 3 — \frac{2}{3} = 3 — \frac{2}{3} = 2 \frac{1}{3}.$$

• При $n = 4$:

  $$y_4 = (-1)^{4+1} \cdot 3 — \frac{2}{4} = -3 — \frac{1}{2} = -3 \frac{1}{2}.$$

• При $n = 5$:

  $$y_5 = (-1)^{5+1} \cdot 3 — \frac{2}{5} = 3 — \frac{2}{5} = 2 \frac{3}{5}.$$

• При $n = 6$:

  $$y_6 = (-1)^{6+1} \cdot 3 — \frac{2}{6} = -3 — \frac{1}{3} = -3 \frac{1}{3}.$$

• При $n = 7$:

  $$y_7 = (-1)^{7+1} \cdot 3 — \frac{2}{7} = 3 — \frac{2}{7} = 2 \frac{5}{7}.$$

• При $n = 8$:

  $$y_8 = (-1)^{8+1} \cdot 3 — \frac{2}{8} = -3 — \frac{1}{4} = -3 \frac{1}{4}.$$

Таблица значений:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline y & -5 & 2 & -3\frac{2}{3} & 2\frac{1}{4} & -3\frac{2}{5} & 2\frac{2}{3} & -3\frac{2}{7} & 2\frac{3}{4} \\ \hline \end{array}$$

Уравнение горизонтальной асимптоты:

Для вычисления предела, мы ищем:

$$\lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} \left( (-1)^{n+1} \cdot 3 — \frac{2}{n} \right).$$

Здесь снова возникает проблема, аналогичная второй части задачи: последовательность колеблется из-за знака $(-1)^{n+1}$, и предел не существует. Значения продолжают чередоваться и не приближаются к какой-либо фиксированной величине.

Таким образом, горизонтальная асимптота не существует.

График функции:

График будет показывать, как точки колеблются между положительными и отрицательными значениями, не стремясь к какой-либо фиксированной горизонтальной линии.