ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 39.1 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Какая из функций, графики которых изображены на рисунках 68—71, имеет предел при $x \to +\infty$? при $x \to -\infty$? при $x \to \infty$?

Рисунок 68.
У графика функции отсутствуют горизонтальные асимптоты, следовательно, данная функция не имеет предела;

Рисунок 69.
Прямая $y = 2,7$ является горизонтальной асимптотой графика функции на луче $[1; +\infty)$, значит:

$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2,7,$$

то есть функция имеет предел при $x \to +\infty$;

Рисунок 70.
Прямая $y = -0,3$ является горизонтальной асимптотой графика функции на луче $(-∞; 0]$, значит:

$$\lim_{x \to -\infty} f(x) = -0,3,$$

то есть функция имеет предел при $x \to -\infty$;

Рисунок 71.
Прямая $y = 0,2$ является горизонтальной асимптотой графика функции на луче $(-∞; +∞)$, значит:

$$\lim_{x \to \infty} f(x) = 0,2,$$

то есть функция имеет предел при $x \to +\infty$;

Рисунок 68

У графика функции отсутствуют горизонтальные асимптоты, следовательно, данная функция не имеет предела.

1. Асимптоты и их виды:
   Горизонтальная асимптота функции — это прямая, к которой график функции стремится при $x \to +\infty$ или $x \to -\infty$, но не пересекает её.
   Важно заметить, что горизонтальная асимптота существует, если функция стремится к конечному значению на бесконечности.
2. Отсутствие горизонтальных асимптот:
   В данном случае график функции не приближается к какой-либо горизонтальной прямой при $x \to +\infty$ или $x \to -\infty$. Это может происходить в нескольких случаях:
   • График функции может стремиться к бесконечности.
   • График может колебаться между различными значениями, не приближаясь к постоянному значению.

   Поскольку график функции не имеет горизонтальных асимптот, можно заключить, что функция не имеет предела ни при $x \to +\infty$, ни при $x \to -\infty$.

Рисунок 69

Прямая $y = 2,7$ является горизонтальной асимптотой графика функции на луче $[1; +\infty)$, значит:

$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2,7,$$

Анализ:

1. Определение асимптоты:
   Прямая $y = 2,7$ является горизонтальной асимптотой на интервале $[1; +\infty)$, если при $x \to +\infty$ график функции приближается к этой прямой. Это означает, что для достаточно больших значений $x$ значения функции $f(x)$ становятся всё более близкими к 2,7.
2. Предел функции на бесконечности:
   Если график функции стремится к горизонтальной асимптоте, то значение функции при $x \to +\infty$ будет равно значению этой асимптоты. То есть:

   $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2,7.$$

   Это означает, что функция имеет предел при $x \to +\infty$, и этот предел равен 2,7. Значение функции приближается к 2,7, но никогда не превышает его.

Рисунок 70

Прямая $y = -0,3$ является горизонтальной асимптотой графика функции на луче $(-∞; 0]$, значит:

$$\lim_{x \to -\infty} f(x) = -0,3,$$

Анализ:

1. Горизонтальная асимптота на интервале $(-∞; 0]$:
   Прямая $y = -0,3$ является горизонтальной асимптотой на интервале $(-∞; 0]$, если график функции приближается к этой прямой по мере того, как $x \to -\infty$. То есть для отрицательных значений $x$, которые становятся всё более отрицательными, значения функции $f(x)$ становятся всё более близкими к -0,3.
2. Предел функции при $x \to -\infty$:
   Это означает, что при $x \to -\infty$ график функции не колеблется и не стремится к бесконечности, а стабилизируется на значении $-0,3$. Предел функции в этой точке:

   $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = -0,3.$$

Рисунок 71

Прямая $y = 0,2$ является горизонтальной асимптотой графика функции на луче $(-∞; +∞)$, значит:

$$\lim_{x \to \infty} f(x) = 0,2,$$

Анализ:

1. Горизонтальная асимптота на всём промежутке:
   Прямая $y = 0,2$ является горизонтальной асимптотой на всём промежутке $(-∞; +∞)$, что означает, что график функции приближается к этой прямой как при $x \to +\infty$, так и при $x \to -\infty$. Это говорит о том, что независимо от того, движется ли $x$ в положительном или отрицательном направлении, значения функции стремятся к 0,2.
2. Предел функции при $x \to \infty$:
   Поскольку график функции стремится к горизонтальной асимптоте $y = 0,2$ на всей области $(-∞; +∞)$, это означает, что при $x \to +\infty$ функция стабилизируется и её значения стремятся к 0,2.

   Таким образом, предел функции при $x \to +\infty$ равен 0,2:

   $$\lim_{x \to \infty} f(x) = 0,2.$$

Итог:

• Рисунок 68: функция не имеет горизонтальных асимптот, следовательно, не имеет предела при $x \to +\infty$ и $x \to -\infty$.
• Рисунок 69: горизонтальная асимптота $y = 2,7$ при $x \to +\infty$, предел функции при $x \to +\infty$ равен 2,7.
• Рисунок 70: горизонтальная асимптота $y = -0,3$ при $x \to -\infty$, предел функции при $x \to -\infty$ равен -0,3.
• Рисунок 71: горизонтальная асимптота $y = 0,2$ на всей области $(-∞; +∞)$, предел функции при $x \to +\infty$ равен 0,2.