ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 39.15 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) ${\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}\frac{3x-1}{x^2+7x+5}{}_{}$

б) ${\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}\frac{5-5x}{2x^2-9x}$

в) ${\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}\frac{-2x-1}{3x^2-4x+1}$

г) ${\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}\frac{4x+3}{12x^2-6x}$

а) $\lim_{x \to \infty} \frac{3x — 1}{x^2 + 7x + 5} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} — \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{7}{x} + \frac{5}{x^2}} = \frac{0 — 0}{1 + 0 + 0} = \frac{0}{1} = 0$;

б) $\lim_{x \to \infty} \frac{5 — 5x}{2x^2 — 9x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^2} — \frac{5}{x}}{2 — \frac{9}{x}} = \frac{0 — 0}{2 — 0} = \frac{0}{2} = 0$;

в) $\lim_{x \to \infty} \frac{-2x — 1}{3x^2 — 4x + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{-\frac{2}{x} — \frac{1}{x^2}}{3 — \frac{4}{x} + \frac{1}{x^2}} = \frac{-0 — 0}{3 — 0 + 0} = \frac{-0}{3} = 0$;

г) $\lim_{x \to \infty} \frac{4x + 3}{12x^2 — 6x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x} + \frac{3}{x^2}}{12 — \frac{6}{x}} = \frac{0 + 0}{12 — 0} = \frac{0}{12} = 0$

а) $\lim_{x \to \infty} \frac{3x — 1}{x^2 + 7x + 5}$

Исходное выражение:

$$\frac{3x — 1}{x^2 + 7x + 5}$$

Чтобы упростить выражение, разделим числитель и знаменатель на $x^2$, то есть на высшую степень переменной в знаменателе:

$$\frac{3x — 1}{x^2 + 7x + 5} = \frac{\frac{3}{x} — \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{7}{x} + \frac{5}{x^2}}.$$

Теперь рассмотрим предел при $x \to \infty$:

• $\frac{3}{x} \to 0$, так как $x$ становится очень большим.
• $\frac{1}{x^2} \to 0$, так как $x^2$ становится еще большим.
• $\frac{7}{x} \to 0$, так как $x$ становится очень большим.
• $\frac{5}{x^2} \to 0$, так как $x^2$ становится еще большим.

Подставляем пределы:

$$\frac{0 — 0}{1 + 0 + 0} = \frac{0}{1} = 0.$$

Таким образом:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{3x — 1}{x^2 + 7x + 5} = 0.$$

б) $\lim_{x \to \infty} \frac{5 — 5x}{2x^2 — 9x}$

Исходное выражение:

$$\frac{5 — 5x}{2x^2 — 9x}$$

Разделим числитель и знаменатель на $x^2$, чтобы упростить выражение, так как $x^2$ — высшая степень переменной в знаменателе:

$$\frac{5 — 5x}{2x^2 — 9x} = \frac{\frac{5}{x^2} — \frac{5}{x}}{2 — \frac{9}{x}}.$$

Теперь рассмотрим предел при $x \to \infty$:

• $\frac{5}{x^2} \to 0$, так как $x^2$ становится очень большим.
• $\frac{5}{x} \to 0$, так как $x$ становится очень большим.
• $\frac{9}{x} \to 0$, так как $x$ становится очень большим.

Подставляем пределы:

$$\frac{0 — 0}{2 — 0} = \frac{0}{2} = 0.$$

Таким образом:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{5 — 5x}{2x^2 — 9x} = 0.$$

в) $\lim_{x \to \infty} \frac{-2x — 1}{3x^2 — 4x + 1}$

Исходное выражение:

$$\frac{-2x — 1}{3x^2 — 4x + 1}$$

Разделим числитель и знаменатель на $x^2$, так как $x^2$ — высшая степень переменной в знаменателе:

$$\frac{-2x — 1}{3x^2 — 4x + 1} = \frac{-\frac{2}{x} — \frac{1}{x^2}}{3 — \frac{4}{x} + \frac{1}{x^2}}.$$

Теперь рассмотрим предел при $x \to \infty$:

• $\frac{2}{x} \to 0$, так как $x$ становится очень большим.
• $\frac{1}{x^2} \to 0$, так как $x^2$ становится очень большим.
• $\frac{4}{x} \to 0$, так как $x$ становится очень большим.

Подставляем пределы:

$$\frac{-0 — 0}{3 — 0 + 0} = \frac{-0}{3} = 0.$$

Таким образом:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{-2x — 1}{3x^2 — 4x + 1} = 0.$$

г) $\lim_{x \to \infty} \frac{4x + 3}{12x^2 — 6x}$

Исходное выражение:

$$\frac{4x + 3}{12x^2 — 6x}$$

Разделим числитель и знаменатель на $x^2$, так как $x^2$ — высшая степень переменной в знаменателе:

$$\frac{4x + 3}{12x^2 — 6x} = \frac{\frac{4}{x} + \frac{3}{x^2}}{12 — \frac{6}{x}}.$$

Теперь рассмотрим предел при $x \to \infty$:

• $\frac{4}{x} \to 0$, так как $x$ становится очень большим.
• $\frac{3}{x^2} \to 0$, так как $x^2$ становится очень большим.
• $\frac{6}{x} \to 0$, так как $x$ становится очень большим.

Подставляем пределы:

$$\frac{0 + 0}{12 — 0} = \frac{0}{12} = 0.$$

Таким образом:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{4x + 3}{12x^2 — 6x} = 0.$$