ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 39.16 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) ${\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}\frac{4x-x^2+1}{5x^2-2x}$

б) ${\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}\frac{x^3-8}{x^3+18}$

в) ${\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}\frac{3x-2x^2+4}{3x^2+2x}$

г) ${\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}\frac{x^3-3x^2}{x^4+2x+1}$

а) $\lim_{x \to \infty} \frac{4x — x^2 + 1}{5x^2 — 2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x} — 1 + \frac{1}{x^2}}{5 — \frac{2}{x}} = \frac{0 — 1 + 0}{5 — 0} = -\frac{1}{5}$;

б) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^3 — 8}{x^3 + 18} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 — \frac{8}{x^3}}{1 + \frac{18}{x^3}} = \frac{1 — 0}{1 + 0} = \frac{1}{1} = 1$;

в) $\lim_{x \to \infty} \frac{3x — 2x^2 + 4}{3x^2 + 2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} — 2 + \frac{4}{x^2}}{3 + \frac{2}{x}} = \frac{0 — 2 + 0}{3 + 0} = -\frac{2}{3}$;

г) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^3 — 3x^2}{x^4 + 2x + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} — \frac{3}{x^2}}{1 + \frac{2}{x^3} + \frac{1}{x^4}} = \frac{0 — 0}{1 + 0 + 0} = \frac{0}{1} = 0$

а) $\lim_{x \to \infty} \frac{4x — x^2 + 1}{5x^2 — 2x}$

Исходное выражение:

$$\frac{4x — x^2 + 1}{5x^2 — 2x}$$

Упростим выражение, разделив числитель и знаменатель на $x^2$, так как $x^2$ — это высшая степень переменной в знаменателе:

$$\frac{4x — x^2 + 1}{5x^2 — 2x} = \frac{\frac{4}{x} — 1 + \frac{1}{x^2}}{5 — \frac{2}{x}}.$$

Теперь рассмотрим предел при $x \to \infty$:

• $\frac{4}{x} \to 0$, так как $x$ становится очень большим.
• $\frac{1}{x^2} \to 0$, так как $x^2$ становится очень большим.
• $\frac{2}{x} \to 0$, так как $x$ становится очень большим.

Подставляем пределы в выражение:

$$\frac{0 — 1 + 0}{5 — 0} = \frac{-1}{5}.$$

Таким образом:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{4x — x^2 + 1}{5x^2 — 2x} = -\frac{1}{5}.$$

б) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^3 — 8}{x^3 + 18}$

Исходное выражение:

$$\frac{x^3 — 8}{x^3 + 18}$$

Чтобы упростить выражение, разделим числитель и знаменатель на $x^3$, так как степень $x^3$ одинаковая в числителе и знаменателе:

$$\frac{x^3 — 8}{x^3 + 18} = \frac{1 — \frac{8}{x^3}}{1 + \frac{18}{x^3}}.$$

Теперь рассмотрим предел при $x \to \infty$:

• $\frac{8}{x^3} \to 0$, так как $x^3$ становится очень большим.
• $\frac{18}{x^3} \to 0$, так как $x^3$ становится очень большим.

Подставляем пределы в выражение:

$$\frac{1 — 0}{1 + 0} = \frac{1}{1} = 1.$$

Таким образом:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{x^3 — 8}{x^3 + 18} = 1.$$

в) $\lim_{x \to \infty} \frac{3x — 2x^2 + 4}{3x^2 + 2x}$

Исходное выражение:

$$\frac{3x — 2x^2 + 4}{3x^2 + 2x}$$

Разделим числитель и знаменатель на $x^2$, так как степень $x^2$ в знаменателе максимальная:

$$\frac{3x — 2x^2 + 4}{3x^2 + 2x} = \frac{\frac{3}{x} — 2 + \frac{4}{x^2}}{3 + \frac{2}{x}}.$$

Теперь рассмотрим предел при $x \to \infty$:

• $\frac{3}{x} \to 0$, так как $x$ становится очень большим.
• $\frac{4}{x^2} \to 0$, так как $x^2$ становится очень большим.
• $\frac{2}{x} \to 0$, так как $x$ становится очень большим.

Подставляем пределы в выражение:

$$\frac{0 — 2 + 0}{3 + 0} = \frac{-2}{3}.$$

Таким образом:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{3x — 2x^2 + 4}{3x^2 + 2x} = -\frac{2}{3}.$$

г) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^3 — 3x^2}{x^4 + 2x + 1}$

Исходное выражение:

$$\frac{x^3 — 3x^2}{x^4 + 2x + 1}$$

Разделим числитель и знаменатель на $x^4$, так как степень $x^4$ — максимальная степень в знаменателе:

$$\frac{x^3 — 3x^2}{x^4 + 2x + 1} = \frac{\frac{1}{x} — \frac{3}{x^2}}{1 + \frac{2}{x^3} + \frac{1}{x^4}}.$$

Теперь рассмотрим предел при $x \to \infty$:

• $\frac{1}{x} \to 0$, так как $x$ становится очень большим.
• $\frac{3}{x^2} \to 0$, так как $x^2$ становится очень большим.
• $\frac{2}{x^3} \to 0$, так как $x^3$ становится очень большим.
• $\frac{1}{x^4} \to 0$, так как $x^4$ становится очень большим.

Подставляем пределы в выражение:

$$\frac{0 — 0}{1 + 0 + 0} = \frac{0}{1} = 0.$$

Таким образом:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{x^3 — 3x^2}{x^4 + 2x + 1} = 0.$$