ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 39.17 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) ${\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}\frac{4x^2+9}{x^2+2}$

б) ${\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}\frac{12x^2+5x+2}{6x^2+5x-1}$

в) ${\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}\frac{3x^2-8}{x^2-1}$

г) ${\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}\frac{10x^2+4x-3}{5x^2+2x+1}$

а) $\lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 + 9}{x^2 + 2} = \lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{9}{x^2}}{1 + \frac{2}{x^2}} = \frac{4 + 0}{1 + 0} = \frac{4}{1} = 4$;

б) $\lim_{x \to \infty} \frac{12x^2 + 5x + 2}{6x^2 + 5x — 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{12 + \frac{5}{x} + \frac{2}{x^2}}{6 + \frac{5}{x} — \frac{1}{x^2}} = \frac{12 + 0 + 0}{6 + 0 — 0} = \frac{12}{6} = 2$;

в) $\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 — 8}{x^2 — 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{3 — \frac{8}{x^2}}{1 — \frac{1}{x^2}} = \frac{3 — 0}{1 — 0} = \frac{3}{1} = 3$;

г) $\lim_{x \to \infty} \frac{10x^2 + 4x — 3}{5x^2 + 2x + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{10 + \frac{4}{x} — \frac{3}{x^2}}{5 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}} = \frac{10 + 0 — 0}{5 + 0 + 0} = \frac{10}{5} = 2$

а) $\lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 + 9}{x^2 + 2}$

Исходное выражение:

$$\frac{4x^2 + 9}{x^2 + 2}$$

Для упрощения выражения разделим числитель и знаменатель на $x^2$, так как это высшая степень переменной в числителе и знаменателе:

$$\frac{4x^2 + 9}{x^2 + 2} = \frac{4 + \frac{9}{x^2}}{1 + \frac{2}{x^2}}.$$

Теперь рассмотрим предел при $x \to \infty$:

• $\frac{9}{x^2} \to 0$, так как $x^2$ становится очень большим.
• $\frac{2}{x^2} \to 0$, так как $x^2$ становится очень большим.

Подставляем пределы в выражение:

$$\frac{4 + 0}{1 + 0} = \frac{4}{1} = 4.$$

Таким образом:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 + 9}{x^2 + 2} = 4.$$

б) $\lim_{x \to \infty} \frac{12x^2 + 5x + 2}{6x^2 + 5x — 1}$

Исходное выражение:

$$\frac{12x^2 + 5x + 2}{6x^2 + 5x — 1}$$

Чтобы упростить выражение, разделим числитель и знаменатель на $x^2$, так как степень $x^2$ — это высшая степень переменной в числителе и знаменателе:

$$\frac{12x^2 + 5x + 2}{6x^2 + 5x — 1} = \frac{12 + \frac{5}{x} + \frac{2}{x^2}}{6 + \frac{5}{x} — \frac{1}{x^2}}.$$

Теперь рассмотрим предел при $x \to \infty$:

• $\frac{5}{x} \to 0$, так как $x$ становится очень большим.
• $\frac{2}{x^2} \to 0$, так как $x^2$ становится очень большим.
• $\frac{5}{x} \to 0$, так как $x$ становится очень большим.
• $\frac{1}{x^2} \to 0$, так как $x^2$ становится очень большим.

Подставляем пределы в выражение:

$$\frac{12 + 0 + 0}{6 + 0 — 0} = \frac{12}{6} = 2.$$

Таким образом:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{12x^2 + 5x + 2}{6x^2 + 5x — 1} = 2.$$

в) $\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 — 8}{x^2 — 1}$

Исходное выражение:

$$\frac{3x^2 — 8}{x^2 — 1}$$

Разделим числитель и знаменатель на $x^2$, так как степень $x^2$ — это высшая степень переменной в числителе и знаменателе:

$$\frac{3x^2 — 8}{x^2 — 1} = \frac{3 — \frac{8}{x^2}}{1 — \frac{1}{x^2}}.$$

Теперь рассмотрим предел при $x \to \infty$:

• $\frac{8}{x^2} \to 0$, так как $x^2$ становится очень большим.
• $\frac{1}{x^2} \to 0$, так как $x^2$ становится очень большим.

Подставляем пределы в выражение:

$$\frac{3 — 0}{1 — 0} = \frac{3}{1} = 3.$$

Таким образом:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 — 8}{x^2 — 1} = 3.$$

г) $\lim_{x \to \infty} \frac{10x^2 + 4x — 3}{5x^2 + 2x + 1}$

Исходное выражение:

$$\frac{10x^2 + 4x — 3}{5x^2 + 2x + 1}$$

Разделим числитель и знаменатель на $x^2$, так как степень $x^2$ — это высшая степень переменной в числителе и знаменателе:

$$\frac{10x^2 + 4x — 3}{5x^2 + 2x + 1} = \frac{10 + \frac{4}{x} — \frac{3}{x^2}}{5 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}.$$

Теперь рассмотрим предел при $x \to \infty$:

• $\frac{4}{x} \to 0$, так как $x$ становится очень большим.
• $\frac{3}{x^2} \to 0$, так как $x^2$ становится очень большим.
• $\frac{2}{x} \to 0$, так как $x$ становится очень большим.
• $\frac{1}{x^2} \to 0$, так как $x^2$ становится очень большим.

Подставляем пределы в выражение:

$$\frac{10 + 0 — 0}{5 + 0 + 0} = \frac{10}{5} = 2.$$

Таким образом:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{10x^2 + 4x — 3}{5x^2 + 2x + 1} = 2.$$