ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 39.2 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Выясните, имеет ли функция $y = f(x)$ предел при $x \to +\infty$, при $x \to -\infty$ или при $x \to \infty$ и чему он равен, если:

а) прямая $y = 3$ является горизонтальной асимптотой графика функции на луче $(-\infty; 4]$;

б) прямая $y = -2$ является горизонтальной асимптотой графика функции на луче $[-6; +\infty)$;

в) прямая $y = -5$ является горизонтальной асимптотой графика функции на луче $(-\infty; 3]$;

г) прямая $y = 5$ является горизонтальной асимптотой графика функции на луче $[4; +\infty)$.

а) Прямая $y = 3$ является горизонтальной асимптотой графика функции на луче $(-\infty; 4]$, значит:

$$\lim_{x \to -\infty} f(x) = 3, \text{ то есть функция имеет предел при } x \to -\infty;$$

б) Прямая $y = -2$ является горизонтальной асимптотой графика функции на луче $[-6; +\infty)$, значит:

$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = -2, \text{ то есть функция имеет предел при } x \to +\infty;$$

в) Прямая $y = -5$ является горизонтальной асимптотой графика функции на луче $(-\infty; 3]$, значит:

$$\lim_{x \to -\infty} f(x) = -5, \text{ то есть функция имеет предел при } x \to -\infty;$$

г) Прямая $y = 5$ является горизонтальной асимптотой графика функции на луче $[4; +\infty)$, значит:

$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = 5, \text{ то есть функция имеет предел при } x \to +\infty;$$

Асимптоты

Горизонтальная асимптота функции $y = f(x)$ — это прямая, к которой график функции приближается при $x \to \pm\infty$. Если график функции приближается к прямой $y = L$ при $x \to +\infty$, то мы говорим, что $y = L$ является горизонтальной асимптотой функции на правом луче $[x_0, +\infty)$, и математически это записывается как:

$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = L.$$

Если график функции приближается к прямой $y = L$ при $x \to -\infty$, то $y = L$ является горизонтальной асимптотой функции на левом луче $(-\infty, x_0]$, и это записывается как:

$$\lim_{x \to -\infty} f(x) = L.$$

Теперь перейдём к анализу каждого из пунктов задачи.

а) Прямая $y = 3$ является горизонтальной асимптотой графика функции на луче $(-\infty; 4]$

Это означает, что при $x \to -\infty$ график функции приближается к прямой $y = 3$. То есть, предел функции $f(x)$ на левом луче $(-\infty, 4]$ равен 3.

Доказательство:

Поскольку прямая $y = 3$ является горизонтальной асимптотой на этом интервале, это означает, что значения функции $f(x)$ становятся всё более близкими к 3, когда $x$ стремится к минус бесконечности. Мы записываем это как:

$$\lim_{x \to -\infty} f(x) = 3.$$

Это утверждение означает, что при $x \to -\infty$ функция $f(x)$ стремится к 3.

Таким образом, вывод: функция $f(x)$ имеет предел при $x \to -\infty$, и этот предел равен 3.

б) Прямая $y = -2$ является горизонтальной асимптотой графика функции на луче $[-6; +\infty)$

Это означает, что при $x \to +\infty$ график функции приближается к прямой $y = -2$. То есть, предел функции $f(x)$ на правом луче $[-6, +\infty)$ равен -2.

Доказательство:

Поскольку прямая $y = -2$ является горизонтальной асимптотой на интервале $[-6, +\infty)$, это означает, что значения функции $f(x)$ становятся всё более близкими к -2, когда $x$ стремится к плюсу бесконечности. Мы записываем это как:

$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = -2.$$

Это утверждение говорит, что при $x \to +\infty$ функция $f(x)$ стремится к -2.

Таким образом, вывод: функция $f(x)$ имеет предел при $x \to +\infty$, и этот предел равен -2.

в) Прямая $y = -5$ является горизонтальной асимптотой графика функции на луче $(-\infty; 3]$

Это означает, что при $x \to -\infty$ график функции приближается к прямой $y = -5$. То есть, предел функции $f(x)$ на левом луче $(-\infty, 3]$ равен -5.

Доказательство:

Поскольку прямая $y = -5$ является горизонтальной асимптотой на этом интервале, это означает, что значения функции $f(x)$ становятся всё более близкими к -5, когда $x$ стремится к минус бесконечности. Мы записываем это как:

$$\lim_{x \to -\infty} f(x) = -5.$$

Это утверждение означает, что при $x \to -\infty$ функция $f(x)$ стремится к -5.

Таким образом, вывод: функция $f(x)$ имеет предел при $x \to -\infty$, и этот предел равен -5.

г) Прямая $y = 5$ является горизонтальной асимптотой графика функции на луче $[4; +\infty)$

Это означает, что при $x \to +\infty$ график функции приближается к прямой $y = 5$. То есть, предел функции $f(x)$ на правом луче $[4, +\infty)$ равен 5.

Доказательство:

Поскольку прямая $y = 5$ является горизонтальной асимптотой на этом интервале, это означает, что значения функции $f(x)$ становятся всё более близкими к 5, когда $x$ стремится к плюсу бесконечности. Мы записываем это как:

$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = 5.$$

Это утверждение говорит, что при $x \to +\infty$ функция $f(x)$ стремится к 5.

Таким образом, вывод: функция $f(x)$ имеет предел при $x \to +\infty$, и этот предел равен 5.