ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 39.22 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Построьте график функции $y = f(x)$, обладающей следующими свойствами:

а) $\lim_{x \to 2} f(x) = 5$; $f(2) = 5$; $\lim_{x \to -3} f(x) = -1$; $f(-3) = 1$; $\lim_{x \to \infty} f(x) = -2$;
функция возрастает на $(-∞; 2]$;

б) $\lim_{x \to -1} f(x) = -3$; $f(-1) = 2$; $\lim_{x \to 0} f(x) = -2$; $f(0) = -2$; $\lim_{x \to \infty} f(x) = 3$;
$E(f) = (-3; 5]$.

а) Свойства функции:

$$\lim_{x \to 2} f(x) = 5 \text{ и } f(2) = 5;$$ $$\lim_{x \to -3} f(x) = -1 \text{ и } f(-3) = 1;$$ $$\lim_{x \to \infty} f(x) = -2;$$

Возрастает на $(-\infty; 2]$;

б) Свойства функции:

$$\lim_{x \to -1} f(x) = -3 \text{ и } f(-1) = 2;$$ $$\lim_{x \to 0} f(x) = -2 \text{ и } f(0) = -2;$$ $$\lim_{x \to \infty} f(x) = 3;$$

$E(f) = (-3; 5]$;

а) Свойства функции:

$\lim_{x \to 2} f(x) = 5 \text{ и } f(2) = 5$:

• Это означает, что функция стремится к значению 5, когда $x$ приближается к 2, и сама функция в точке $x = 2$ также равна 5.
• Визуально на графике это означает, что точка $(2, 5)$ лежит на графике функции, и функция не имеет разрыва или скачка в этой точке. График будет плавно проходить через эту точку.

$\lim_{x \to -3} f(x) = -1 \text{ и } f(-3) = 1$:

• В точке $x = -3$ функция имеет разрыв. Когда $x$ стремится к $-3$, значение функции стремится к $-1$, но сама функция в точке $x = -3$ имеет значение 1.
• На графике мы увидим разрыв: линия будет приближаться к $-1$ с обеих сторон, но в самой точке $x = -3$ будет «прыжок» вверх до значения 1. Таким образом, точка $(-3, 1)$ будет являться дискретной точкой (на графике будет изображена как отдельная точка), а линия будет обходить её с обеих сторон, приближаясь к $-1$.

$\lim_{x \to \infty} f(x) = -2$:

• Это означает, что функция имеет горизонтальную асимптоту на уровне $y = -2$ при $x \to \infty$.
• На графике линия будет стремиться к значению $y = -2$ при увеличении $x$, но никогда не пересечет эту ось. Это можно изобразить как линию, которая будет очень близка к $y = -2$, но не достигнет её.

Возрастает на $(-\infty; 2]$:

• Функция возрастает на интервале $(-\infty; 2]$, что означает, что при $x$ в этом интервале значение функции будет увеличиваться.
• На графике это выглядит как линия, которая поднимается (растет) слева от точки $x = 2$. В точке $x = 2$ функция может иметь максимальное значение на этом интервале, если это локальный максимум.

б) Свойства функции:

$\lim_{x \to -1} f(x) = -3 \text{ и } f(-1) = 2$:

• Это означает, что функция стремится к значению $-3$, когда $x \to -1$, но сама функция в точке $x = -1$ равна 2.
• График будет иметь разрыв: с обеих сторон от $x = -1$ функция будет приближаться к $-3$, но в самой точке $x = -1$ график перескочит вверх до значения 2. Это выглядит как «прыжок» на графике.

$\lim_{x \to 0} f(x) = -2 \text{ и } f(0) = -2$:

• В точке $x = 0$ функция имеет значение $-2$, и в окрестности этой точки функция стремится к $-2$.
• График будет гладким и непрерывным в точке $x = 0$. Точка $(0, -2)$ будет лежать на графике, и линия будет плавно проходить через неё.

$\lim_{x \to \infty} f(x) = 3$:

• Это означает, что функция имеет горизонтальную асимптоту на уровне $y = 3$ при $x \to \infty$.
• На графике линия будет стремиться к значению $y = 3$ при увеличении $x$, но не пересечет эту ось. Функция будет «приближаться» к этой линии, но никогда не пересечет её.

$E(f) = (-3; 5]$:

• Это означает, что множество значений функции $f(x)$ лежит в интервале от $-3$ до 5, включая 5, но не включая $-3$.
• Это ограничивает график функции сверху (значения $y$ не могут превышать 5) и снизу (значения функции не могут быть меньше $-3$).

Построение графика:

Отметьте точки и асимптоты:

• Начнем с того, что необходимо отметить ключевые точки:
  • $(2, 5)$ — функция достигает значения 5.
  • $(-3, 1)$ — разрыв, функция приближается к $-1$, но в точке $-3$ имеет значение 1.
  • $(-1, 2)$ — разрыв, функция приближается к $-3$, но в точке $-1$ имеет значение 2.
  • $(0, -2)$ — точка, где функция равна $-2$.
• Также нанесем асимптоты:
  • Горизонтальная асимптота $y = -2$ при $x \to \infty$ (для части графика, которая идет вправо).
  • Горизонтальная асимптота $y = 3$ при $x \to \infty$ (для части графика, которая идет влево).

Рисуем участки графика:

• Для интервала $(-\infty; 2]$ функция возрастает, и мы рисуем линию, которая поднимается до точки $(2, 5)$.
• Для $(-3; -1)$ функция будет стремиться к значению $-1$, но будет иметь разрыв в точке $(-3, 1)$, где функция перескакивает до 1.
• После точки $(-1, 2)$ мы видим ещё один разрыв, и функция будет стремиться к значению $-3$.
• В окрестности $x = 0$, линия будет плавно проходить через точку $(0, -2)$.
• Для $x \to \infty$ функция будет приближаться к асимптотам $y = -2$ и $y = 3$, соответственно.

Таким образом, график будет состоять из нескольких частей, каждая из которых будет строго следовать за описанными свойствами.