ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 39.24 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) ${\lim }_{x\to 5}\sqrt{x+4}$

б) ${\lim }_{x\to 0}\frac{2x-1}{x^2+3x-4}$

в) ${\lim }_{x\to 3,5}\sqrt{2x-6}$

г) ${\lim }_{x\to -1}\frac{5-2x}{3x^2-2x+4}$

а) $\lim_{x \to 5} \sqrt{x + 4} = \sqrt{5 + 4} = \sqrt{9} = 3$;

б) $\lim_{x \to 0} \frac{2x — 1}{x^2 + 3x — 4} = \frac{2 \cdot 0 — 1}{0^2 + 3 \cdot 0 — 4} = \frac{-1}{-4} = \frac{1}{4}$;

в) $\lim_{x \to 3,5} \sqrt{2x — 6} = \sqrt{2 \cdot 3,5 — 6} = \sqrt{7 — 6} = \sqrt{1} = 1$;

г) $\lim_{x \to -1} \frac{5 — 2x}{3x^2 — 2x + 4} = \frac{5 — 2 \cdot (-1)}{3 \cdot (-1)^2 — 2 \cdot (-1) + 4} = \frac{5 + 2}{3 + 2 + 4} = \frac{7}{9}$.

а) $\lim_{x \to 5} \sqrt{x + 4} = \sqrt{5 + 4} = \sqrt{9} = 3$

Шаг 1: Подстановка значения $x = 5$

В данном случае, мы вычисляем предел функции $\sqrt{x + 4}$ при $x \to 5$. Чтобы найти этот предел, можно просто подставить $x = 5$ в выражение под знаком предела.

$$\lim_{x \to 5} \sqrt{x + 4} = \sqrt{5 + 4}$$

Шаг 2: Вычисление выражения

Теперь подставим значение $5$ в выражение $\sqrt{x + 4}$:

$$\sqrt{5 + 4} = \sqrt{9}$$

Шаг 3: Вычисление квадратного корня

$$\sqrt{9} = 3$$

Ответ: Предел функции равен 3.

$$\lim_{x \to 5} \sqrt{x + 4} = 3$$

б) $\lim_{x \to 0} \frac{2x — 1}{x^2 + 3x — 4} = \frac{2 \cdot 0 — 1}{0^2 + 3 \cdot 0 — 4} = \frac{-1}{-4} = \frac{1}{4}$

Шаг 1: Подстановка значения $x = 0$

В данном примере мы рассматриваем предел функции $\frac{2x — 1}{x^2 + 3x — 4}$ при $x \to 0$. Для нахождения этого предела подставим $x = 0$ в числитель и знаменатель.

$$\lim_{x \to 0} \frac{2x — 1}{x^2 + 3x — 4} = \frac{2 \cdot 0 — 1}{0^2 + 3 \cdot 0 — 4}$$

Шаг 2: Вычисление числителя и знаменателя

Числитель:

$$2 \cdot 0 — 1 = -1$$

Знаменатель:

$$0^2 + 3 \cdot 0 — 4 = -4$$

Шаг 3: Подстановка значений в дробь

Теперь мы можем подставить эти результаты в дробь:

$$\frac{-1}{-4}$$

Шаг 4: Упрощение

Числители и знаменатели одинаковые по знаку, значит дробь будет положительной. Следовательно:

$$\frac{-1}{-4} = \frac{1}{4}$$

Ответ: Предел функции равен $\frac{1}{4}$.

$$\lim_{x \to 0} \frac{2x — 1}{x^2 + 3x — 4} = \frac{1}{4}$$

в) $\lim_{x \to 3,5} \sqrt{2x — 6} = \sqrt{2 \cdot 3,5 — 6} = \sqrt{7 — 6} = \sqrt{1} = 1$

Шаг 1: Подстановка значения $x = 3,5$

В этом случае, предел функции $\sqrt{2x — 6}$ вычисляется при $x \to 3,5$. Подставим $x = 3,5$ в выражение под знаком предела:

$$\lim_{x \to 3,5} \sqrt{2x — 6} = \sqrt{2 \cdot 3,5 — 6}$$

Шаг 2: Вычисление выражения в подкоренном

Теперь вычислим выражение в подкоренном:

$$2 \cdot 3,5 = 7$$ $$7 — 6 = 1$$

Шаг 3: Извлечение квадратного корня

$$\sqrt{1} = 1$$

Ответ: Предел функции равен 1.

$$\lim_{x \to 3,5} \sqrt{2x — 6} = 1$$

г) $\lim_{x \to -1} \frac{5 — 2x}{3x^2 — 2x + 4} = \frac{5 — 2 \cdot (-1)}{3 \cdot (-1)^2 — 2 \cdot (-1) + 4} = \frac{5 + 2}{3 + 2 + 4} = \frac{7}{9}$

Шаг 1: Подстановка значения $x = -1$

Здесь мы рассматриваем предел функции $\frac{5 — 2x}{3x^2 — 2x + 4}$ при $x \to -1$. Для вычисления этого предела подставим $x = -1$ в числитель и знаменатель.

$$\lim_{x \to -1} \frac{5 — 2x}{3x^2 — 2x + 4} = \frac{5 — 2 \cdot (-1)}{3 \cdot (-1)^2 — 2 \cdot (-1) + 4}$$

Шаг 2: Вычисление числителя и знаменателя

Числитель:

$$5 — 2 \cdot (-1) = 5 + 2 = 7$$

Знаменатель:

$$3 \cdot (-1)^2 = 3 \cdot 1 = 3$$ $$-2 \cdot (-1) = 2$$ $$3 + 2 + 4 = 9$$

Шаг 3: Подстановка значений в дробь

Теперь подставим полученные результаты в дробь:

$$\frac{7}{9}$$

Ответ: Предел функции равен $\frac{7}{9}$.

$$\lim_{x \to -1} \frac{5 — 2x}{3x^2 — 2x + 4} = \frac{7}{9}$$

Итоговые ответы:

а) $3$

б) $\frac{1}{4}$

в) $1$

г) $\frac{7}{9}$