ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 39.25 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) ${\lim }_{x\to 4}\frac{\sin \pi x}{x-1}$

б) ${\lim }_{x\to 2}\frac{\sin \frac{\pi }{x}}{2x+1}$

в) ${\lim }_{x\to 0}\frac{\cos \pi x}{x+2}$

г) ${\lim }_{x\to 2}\frac{\cos \frac{2\pi }{x}}{3x-1}$

а) $\lim_{x \to 4} \frac{\sin \pi x}{x — 1} = \frac{\sin 4\pi}{4 — 1} = \frac{0}{3} = 0$;

б) $\lim_{x \to 2} \frac{\sin \frac{\pi}{x}}{2x + 1} = \frac{\sin \frac{\pi}{2}}{2 \cdot 2 + 1} = \frac{1}{4 + 1} = \frac{1}{5} = 0,2$;

в) $\lim_{x \to 0} \frac{\cos \pi x}{x + 2} = \frac{\cos (\pi \cdot 0)}{0 + 2} = \frac{\cos 0}{2} = \frac{1}{2} = 0,5$;

г) $\lim_{x \to 2} \frac{\cos \frac{2\pi}{x}}{3x — 1} = \frac{\cos \frac{2\pi}{2}}{3 \cdot 2 — 1} = \frac{\cos \pi}{6 — 1} = \frac{-1}{5} = -0,2$

а) $\lim_{x \to 4} \frac{\sin \pi x}{x — 1}$

Определяем выражение функции: Рассмотрим выражение $\frac{\sin \pi x}{x — 1}$. Это дробь, в которой числитель — это функция синуса, а знаменатель — линейная функция от $x$.

Подставляем значение предела:
Нам нужно вычислить предел при $x \to 4$. Подставляем $x = 4$ в числитель и знаменатель:

$$\frac{\sin \pi \cdot 4}{4 — 1}.$$

Вычисляем числитель:

$$\sin \pi \cdot 4 = \sin 4\pi = 0.$$

Синус любого целого кратного числа $\pi$ равен нулю, поэтому числитель равен $0$.

Вычисляем знаменатель:

$$4 — 1 = 3.$$

Подставляем в дробь:
Получаем:

$$\frac{0}{3} = 0.$$

Итак, предел равен $0$.

б) $\lim_{x \to 2} \frac{\sin \frac{\pi}{x}}{2x + 1}$

Определяем выражение функции: Здесь числитель $\sin \frac{\pi}{x}$ является функцией от $x$, а знаменатель — линейной функцией $2x + 1$.

Подставляем значение предела:
Нам нужно вычислить предел при $x \to 2$. Подставляем $x = 2$ в числитель и знаменатель:

$$\frac{\sin \frac{\pi}{2}}{2 \cdot 2 + 1}.$$

Вычисляем числитель:

$$\sin \frac{\pi}{2} = 1.$$

Вычисляем знаменатель:

$$2 \cdot 2 + 1 = 4 + 1 = 5.$$

Подставляем в дробь:
Получаем:

$$\frac{1}{5} = 0,2.$$

Итак, предел равен $0,2$.

в) $\lim_{x \to 0} \frac{\cos \pi x}{x + 2}$

Определяем выражение функции: Здесь числитель $\cos \pi x$ — это косинус функции от $x$, а знаменатель — линейная функция $x + 2$.

Подставляем значение предела:
Нам нужно вычислить предел при $x \to 0$. Подставляем $x = 0$ в числитель и знаменатель:

$$\frac{\cos \pi \cdot 0}{0 + 2}.$$

Вычисляем числитель:

$$\cos \pi \cdot 0 = \cos 0 = 1.$$

Вычисляем знаменатель:

$$0 + 2 = 2.$$

Подставляем в дробь:
Получаем:

$$\frac{1}{2} = 0,5.$$

Итак, предел равен $0,5$.

г) $\lim_{x \to 2} \frac{\cos \frac{2\pi}{x}}{3x — 1}$

Определяем выражение функции: Здесь числитель $\cos \frac{2\pi}{x}$ — это косинус функции от $x$, а знаменатель — линейная функция $3x — 1$.

Подставляем значение предела:
Нам нужно вычислить предел при $x \to 2$. Подставляем $x = 2$ в числитель и знаменатель:

$$\frac{\cos \frac{2\pi}{2}}{3 \cdot 2 — 1}.$$

Вычисляем числитель:

$$\frac{2\pi}{2} = \pi, \quad \cos \pi = -1.$$

Вычисляем знаменатель:

$$3 \cdot 2 — 1 = 6 — 1 = 5.$$

Подставляем в дробь:
Получаем:

$$\frac{-1}{5} = -0,2.$$

Итак, предел равен $-0,2$.

Итоговые результаты:

а) $\lim_{x \to 4} \frac{\sin \pi x}{x — 1} = 0$,

б) $\lim_{x \to 2} \frac{\sin \frac{\pi}{x}}{2x + 1} = 0,2$,

в) $\lim_{x \to 0} \frac{\cos \pi x}{x + 2} = 0,5$,

г) $\lim_{x \to 2} \frac{\cos \frac{2\pi}{x}}{3x — 1} = -0,2$.