ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 39.26 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $\lim_{x \to 0,5} (2 \cdot \arcsin x + 3 \cdot \arccos x) = 2 \cdot \arcsin \frac{1}{2} + 3 \cdot \arccos \frac{1}{2} =$

б) $\lim_{x \to -0,5} \frac{\arccos x + \pi \cdot \sin \pi x}{\pi \cdot \cos \pi x + 2 \cdot \arcsin x} = \frac{\arccos \left(-\frac{1}{2}\right) + \pi \cdot \sin \left(-\frac{\pi}{2}\right)}{\pi \cdot \cos \left(-\frac{\pi}{2}\right) + 2 \cdot \arcsin \left(-\frac{1}{2}\right)} =$

в) $\lim_{x \to \sqrt{3}} (2 \cdot \arctg x — \arcctg x) = 2 \cdot \arctg \sqrt{3} — \arcctg \sqrt{3} =$

г) ${\lim }_{x\to -1}\frac{2\cdot \mathrm{arcctg}x+\pi x}{\cos x-\cos (-x)+\mathrm{arctg}x}$

а) $\lim_{x \to 0,5} (2 \cdot \arcsin x + 3 \cdot \arccos x) = 2 \cdot \arcsin \frac{1}{2} + 3 \cdot \arccos \frac{1}{2} =$
$= 2 \cdot \frac{\pi}{6} + 3 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{\pi + 3\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$;

б) $\lim_{x \to -0,5} \frac{\arccos x + \pi \cdot \sin \pi x}{\pi \cdot \cos \pi x + 2 \cdot \arcsin x} = \frac{\arccos \left(-\frac{1}{2}\right) + \pi \cdot \sin \left(-\frac{\pi}{2}\right)}{\pi \cdot \cos \left(-\frac{\pi}{2}\right) + 2 \cdot \arcsin \left(-\frac{1}{2}\right)} =$
$= \frac{\frac{2\pi}{3} + \pi \cdot (-1)}{\pi \cdot 0 + 2 \cdot \left(-\frac{\pi}{6}\right)} = \frac{\frac{2\pi}{3} — \frac{3\pi}{3}}{-\frac{2\pi}{6}} = \frac{\pi}{3} : \frac{\pi}{3} = 1$;

в) $\lim_{x \to \sqrt{3}} (2 \cdot \arctg x — \arcctg x) = 2 \cdot \arctg \sqrt{3} — \arcctg \sqrt{3} =$
$= 2 \cdot \frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} — \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$;

г) $\lim_{x \to -1} \frac{2 \cdot \arcctg x + \pi x}{\cos x — \cos(-x) + \arctg x} = \frac{2 \cdot \arcctg (-1) — \pi}{\cos(-1) — \cos 1 + \arctg (-1)} =$
$= \frac{2 \cdot \frac{3\pi}{4} — \pi}{-\frac{\pi}{4}} = \frac{\frac{3\pi}{2} — \frac{2\pi}{2}}{-\frac{\pi}{4}} = \frac{\pi}{2} \cdot \left(-\frac{4}{\pi}\right) = -\frac{4}{2} = -2$

а) $\lim_{x \to 0,5} (2 \cdot \arcsin x + 3 \cdot \arccos x)$

Шаг 1: Подставим $x = 0,5$ в выражение:

$$\lim_{x \to 0,5} \left( 2 \cdot \arcsin x + 3 \cdot \arccos x \right)$$

Шаг 2: Для нахождения предела, будем использовать значения $\arcsin \frac{1}{2}$ и $\arccos \frac{1}{2}$:

• $\arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$, так как синус угла $\frac{\pi}{6}$ равен $\frac{1}{2}$.
• $\arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$, так как косинус угла $\frac{\pi}{3}$ равен $\frac{1}{2}$.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$$2 \cdot \arcsin \frac{1}{2} + 3 \cdot \arccos \frac{1}{2} = 2 \cdot \frac{\pi}{6} + 3 \cdot \frac{\pi}{3}$$

Шаг 3: Выполним умножение и сложение:

$$= \frac{2\pi}{6} + \frac{3\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + \pi$$

Теперь приведем к общему знаменателю:

$$\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{\pi}{3} + \frac{3\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$$

Ответ:

$$\lim_{x \to 0,5} \left( 2 \cdot \arcsin x + 3 \cdot \arccos x \right) = \frac{4\pi}{3}$$

б) $\lim_{x \to -0,5} \frac{\arccos x + \pi \cdot \sin \pi x}{\pi \cdot \cos \pi x + 2 \cdot \arcsin x}$

Шаг 1: Подставим $x = -0,5$ в выражение:

$$\lim_{x \to -0,5} \frac{\arccos x + \pi \cdot \sin \pi x}{\pi \cdot \cos \pi x + 2 \cdot \arcsin x}$$

Шаг 2: Для нахождения предела, будем использовать значения $\arccos \left(-\frac{1}{2}\right)$, $\sin \left( -\frac{\pi}{2} \right)$, $\cos \left( -\frac{\pi}{2} \right)$ и $\arcsin \left(-\frac{1}{2}\right)$:

• $\arccos \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}$, так как косинус угла $\frac{2\pi}{3}$ равен $-\frac{1}{2}$.
• $\sin \left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1$, так как синус угла $-\frac{\pi}{2}$ равен $-1$.
• $\cos \left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0$, так как косинус угла $-\frac{\pi}{2}$ равен $0$.
• $\arcsin \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}$, так как синус угла $-\frac{\pi}{6}$ равен $-\frac{1}{2}$.

Теперь подставим эти значения в исходное выражение:

$$\frac{\arccos \left( -\frac{1}{2} \right) + \pi \cdot \sin \left( -\frac{\pi}{2} \right)}{\pi \cdot \cos \left( -\frac{\pi}{2} \right) + 2 \cdot \arcsin \left( -\frac{1}{2} \right)} = \frac{\frac{2\pi}{3} + \pi \cdot (-1)}{\pi \cdot 0 + 2 \cdot \left(-\frac{\pi}{6}\right)}$$

Шаг 3: Выполним действия в числителе и знаменателе:

$$= \frac{\frac{2\pi}{3} — \pi}{0 — \frac{\pi}{3}} = \frac{\frac{2\pi}{3} — \frac{3\pi}{3}}{-\frac{2\pi}{6}}$$

Шаг 4: Приведем к общему знаменателю в числителе и упростим выражение:

$$= \frac{-\frac{\pi}{3}}{-\frac{\pi}{3}} = 1$$

Ответ:

$$\lim_{x \to -0,5} \frac{\arccos x + \pi \cdot \sin \pi x}{\pi \cdot \cos \pi x + 2 \cdot \arcsin x} = 1$$

в) $\lim_{x \to \sqrt{3}} (2 \cdot \arctg x — \arcctg x)$

Шаг 1: Подставим $x = \sqrt{3}$ в выражение:

$$\lim_{x \to \sqrt{3}} \left( 2 \cdot \arctg x — \arcctg x \right)$$

Шаг 2: Для нахождения предела, будем использовать значения $\arctg \sqrt{3}$ и $\arcctg \sqrt{3}$:

• $\arctg \sqrt{3} = \frac{\pi}{3}$, так как тангенс угла $\frac{\pi}{3}$ равен $\sqrt{3}$.
• $\arcctg \sqrt{3} = \frac{\pi}{6}$, так как котангенс угла $\frac{\pi}{6}$ равен $\sqrt{3}$.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$$2 \cdot \arctg \sqrt{3} — \arcctg \sqrt{3} = 2 \cdot \frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{6}$$

Шаг 3: Выполним умножение и вычитание:

$$= \frac{2\pi}{3} — \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} — \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$$

Ответ:

$$\lim_{x \to \sqrt{3}} \left( 2 \cdot \arctg x — \arcctg x \right) = \frac{\pi}{2}$$

г) $\lim_{x \to -1} \frac{2 \cdot \arcctg x + \pi x}{\cos x — \cos(-x) + \arctg x}$

Шаг 1: Подставим $x = -1$ в выражение:

$$\lim_{x \to -1} \frac{2 \cdot \arcctg x + \pi x}{\cos x — \cos(-x) + \arctg x}$$

Шаг 2: Для нахождения предела, будем использовать значения $\arcctg (-1)$, $\cos(-1)$, $\cos 1$ и $\arctg (-1)$:

• $\arcctg (-1) = \frac{3\pi}{4}$, так как котангенс угла $\frac{3\pi}{4}$ равен $-1$.
• $\cos(-1) = \cos(1)$, так как косинус четная функция.
• $\arctg (-1) = -\frac{\pi}{4}$, так как тангенс угла $-\frac{\pi}{4}$ равен $-1$.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$$\frac{2 \cdot \arcctg (-1) + \pi (-1)}{\cos(-1) — \cos 1 + \arctg (-1)} = \frac{2 \cdot \frac{3\pi}{4} + (-\pi)}{\cos(1) — \cos(1) + \left( -\frac{\pi}{4} \right)}$$

Шаг 3: Упростим числитель и знаменатель:

$$= \frac{2 \cdot \frac{3\pi}{4} — \pi}{0 — \frac{\pi}{4}} = \frac{\frac{3\pi}{2} — \frac{2\pi}{2}}{-\frac{\pi}{4}} = \frac{\pi}{2} \cdot \left(-\frac{4}{\pi}\right) = -\frac{4}{2} = -2$$

Ответ:

$$\lim_{x \to -1} \frac{2 \cdot \arcctg x + \pi x}{\cos x — \cos(-x) + \arctg x} = -2$$