ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 39.29 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а)

$$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 2x — 3}{x — 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x + 3)(x — 1)}{x — 1} = \lim_{x \to 1} (x + 3) = 1 + 3 = 4;$$ $${}^{}$$б)

$$\lim_{x \to 2} \frac{x — 2}{2x^2 — x — 6} = \lim_{x \to 2} \frac{x — 2}{(2x + 3)(x — 2)} = \lim_{x \to 2} \frac{1}{2x + 3} = \frac{1}{2 \cdot 2 + 3} = \frac{1}{7};$$ $$2x^2 — x — 6 = 0;$$ $$$$в)

$$\lim_{x \to -1} \frac{x + 1}{x^2 — 2x — 3} = \lim_{x \to -1} \frac{x + 1}{(x + 1)(x — 3)} = \lim_{x \to -1} \frac{1}{x — 3} = \frac{1}{-1 — 3} = -\frac{1}{4};$$ $$x^2 — 2x — 3 = 0;$$ $$$$г)

$$\underset{x\to 9}{\lim }\frac{x^2-11x+18}{x-9}$$

а)

$$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 2x — 3}{x — 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x + 3)(x — 1)}{x — 1} = \lim_{x \to 1} (x + 3) = 1 + 3 = 4;$$ $$x^2 + 2x — 3 = 0;$$ $$D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1;$$

Ответ: $4$.

б)

$$\lim_{x \to 2} \frac{x — 2}{2x^2 — x — 6} = \lim_{x \to 2} \frac{x — 2}{(2x + 3)(x — 2)} = \lim_{x \to 2} \frac{1}{2x + 3} = \frac{1}{2 \cdot 2 + 3} = \frac{1}{7};$$ $$2x^2 — x — 6 = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 2 \cdot 6 = 1 + 48 = 49, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{1 — 7}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2;$$

Ответ: $\frac{1}{7}$.

в)

$$\lim_{x \to -1} \frac{x + 1}{x^2 — 2x — 3} = \lim_{x \to -1} \frac{x + 1}{(x + 1)(x — 3)} = \lim_{x \to -1} \frac{1}{x — 3} = \frac{1}{-1 — 3} = -\frac{1}{4};$$ $$x^2 — 2x — 3 = 0;$$ $$D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3;$$

Ответ: $-\frac{1}{4}$.

г)

$$\lim_{x \to 9} \frac{x^2 — 11x + 18}{x — 9} = \lim_{x \to 9} \frac{(x — 2)(x — 9)}{x — 9} = \lim_{x \to 9} (x — 2) = 9 — 2 = 7;$$ $$x^2 — 11x + 18 = 0;$$ $$D = 11^2 — 4 \cdot 18 = 121 — 72 = 49, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{11 — 7}{2} = 2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{11 + 7}{2} = 9;$$

Ответ: $7$.

а)

Найдем предел:

$$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 2x — 3}{x — 1}.$$

Преобразуем числитель $x^2 + 2x — 3$ с помощью разложения на множители. Для этого решим уравнение:

$$x^2 + 2x — 3 = (x + 3)(x — 1).$$

Подставим разложение в исходную функцию:

$$\frac{x^2 + 2x — 3}{x — 1} = \frac{(x + 3)(x — 1)}{x — 1}.$$

Мы можем сократить $x — 1$ в числителе и знаменателе (для $x \neq 1$):

$$= x + 3.$$

Теперь, подставив $x = 1$ в полученную выражение, находим:

$$\lim_{x \to 1} (x + 3) = 1 + 3 = 4.$$

Ответ: $4$.

б)

Найдем предел:

$$\lim_{x \to 2} \frac{x — 2}{2x^2 — x — 6}.$$

Преобразуем знаменатель $2x^2 — x — 6$ с помощью разложения на множители. Для этого решим уравнение:

$$2x^2 — x — 6 = (2x + 3)(x — 2).$$

Подставим разложение в исходную функцию:

$$\frac{x — 2}{2x^2 — x — 6} = \frac{x — 2}{(2x + 3)(x — 2)}.$$

Мы можем сократить $x — 2$ в числителе и знаменателе (для $x \neq 2$):

$$= \frac{1}{2x + 3}.$$

Теперь, подставив $x = 2$ в полученное выражение, находим:

$$\lim_{x \to 2} \frac{1}{2x + 3} = \frac{1}{2 \cdot 2 + 3} = \frac{1}{4 + 3} = \frac{1}{7}.$$

Ответ: $\frac{1}{7}$.

в)

Найдем предел:

$$\lim_{x \to -1} \frac{x + 1}{x^2 — 2x — 3}.$$

Преобразуем знаменатель $x^2 — 2x — 3$ с помощью разложения на множители. Для этого решим уравнение:

$$x^2 — 2x — 3 = (x + 1)(x — 3).$$

Подставим разложение в исходную функцию:

$$\frac{x + 1}{x^2 — 2x — 3} = \frac{x + 1}{(x + 1)(x — 3)}.$$

Мы можем сократить $x + 1$ в числителе и знаменателе (для $x \neq -1$):

$$= \frac{1}{x — 3}.$$

Теперь, подставив $x = -1$ в полученное выражение, находим:

$$\lim_{x \to -1} \frac{1}{x — 3} = \frac{1}{-1 — 3} = \frac{1}{-4} = -\frac{1}{4}.$$

Ответ: $-\frac{1}{4}$.

г)

Найдем предел:

$$\lim_{x \to 9} \frac{x^2 — 11x + 18}{x — 9}.$$

Преобразуем числитель $x^2 — 11x + 18$ с помощью разложения на множители. Для этого решим уравнение:

$$x^2 — 11x + 18 = (x — 2)(x — 9).$$

Подставим разложение в исходную функцию:

$$\frac{x^2 — 11x + 18}{x — 9} = \frac{(x — 2)(x — 9)}{x — 9}.$$

Мы можем сократить $x — 9$ в числителе и знаменателе (для $x \neq 9$):

$$= x — 2.$$

Теперь, подставив $x = 9$ в полученное выражение, находим:

$$\lim_{x \to 9} (x — 2) = 9 — 2 = 7.$$

Ответ: $7$.

Ответы:

а) $4$

б) $\frac{1}{7}$

в) $-\frac{1}{4}$

г) $7$