ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 39.3 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Известно, что

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=2,\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }g(x)=-3,\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }h(x)=9;$$

Вычислите:

a)

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }(f(x)+g(x)-h(x))$$б)

$$\lim_{x \to \infty} \big(g(x) \cdot (f(x))^2\big) = -3 \cdot 2^2 = -3 \cdot 4 = -12;$$

в)

$$\lim_{x \to \infty} \big(g(x) \cdot f(x) + h(x)\big) = -3 \cdot 2 + 9 = -6 + 9 = 3;$$

г)

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }(f(x)\cdot g(x)\cdot h(x))\mathrm{}$$

Известно:

$$\lim_{x \to \infty} f(x) = 2, \quad \lim_{x \to \infty} g(x) = -3, \quad \lim_{x \to \infty} h(x) = 9;$$

a)

$$\lim_{x \to \infty} \big(f(x) + g(x) — h(x)\big) = 2 + (-3) — 9 = -10;$$

б)

$$\lim_{x \to \infty} \big(g(x) \cdot (f(x))^2\big) = -3 \cdot 2^2 = -3 \cdot 4 = -12;$$

в)

$$\lim_{x \to \infty} \big(g(x) \cdot f(x) + h(x)\big) = -3 \cdot 2 + 9 = -6 + 9 = 3;$$

г)

$$\lim_{x \to \infty} \big(f(x) \cdot g(x) \cdot h(x)\big) = 2 \cdot (-3) \cdot 9 = -54;$$

Известно, что:

$$\lim_{x \to \infty} f(x) = 2, \quad \lim_{x \to \infty} g(x) = -3, \quad \lim_{x \to \infty} h(x) = 9$$

Здесь предполагается, что функции $f(x)$, $g(x)$ и $h(x)$ сходятся к определенным значениям при $x \to \infty$. То есть, когда $x$ становится достаточно большим, значения этих функций становятся все более близкими к 2, -3 и 9 соответственно.

Теперь давайте рассмотрим каждый пункт задачи.

a) Вычисление предела:

$$\lim_{x \to \infty} \big(f(x) + g(x) — h(x)\big)$$

Понимание предела суммы и разности:
Мы имеем выражение, состоящее из суммы и разности функций. Чтобы найти предел такого выражения, достаточно воспользоваться свойством пределов для сложных выражений:

$$\lim_{x \to \infty} \left( f(x) + g(x) — h(x) \right) = \lim_{x \to \infty} f(x) + \lim_{x \to \infty} g(x) — \lim_{x \to \infty} h(x)$$

Это свойство действует, потому что предел суммы (или разности) равен сумме (или разности) пределов.

Подставляем известные пределы:
Из условия задачи нам известно, что:

$$\lim_{x \to \infty} f(x) = 2, \quad \lim_{x \to \infty} g(x) = -3, \quad \lim_{x \to \infty} h(x) = 9$$

Подставляем эти значения в выражение:

$$2 + (-3) — 9 = 2 — 3 — 9 = -10$$

Ответ:

$$\lim_{x \to \infty} \big(f(x) + g(x) — h(x)\big) = -10$$

б) Вычисление предела:

$$\lim_{x \to \infty} \big(g(x) \cdot (f(x))^2\big)$$

Понимание предела произведения:
В данном случае мы ищем предел произведения двух выражений: $g(x)$ и $(f(x))^2$. Используя свойства пределов для произведений, мы получаем:

$$\lim_{x \to \infty} \left( g(x) \cdot (f(x))^2 \right) = \lim_{x \to \infty} g(x) \cdot \lim_{x \to \infty} (f(x))^2$$

Мы можем взять предел каждой из составляющих, но сначала нужно вычислить предел $(f(x))^2$.

Вычисляем предел $(f(x))^2$:
Из условия задачи известно, что:

$$\lim_{x \to \infty} f(x) = 2$$

Таким образом:

$$\lim_{x \to \infty} (f(x))^2 = \left( \lim_{x \to \infty} f(x) \right)^2 = 2^2 = 4$$

Теперь подставляем все в исходное выражение:
Из условия задачи:

$$\lim_{x \to \infty} g(x) = -3$$

Подставляем в формулу:

$$\lim_{x \to \infty} g(x) \cdot \lim_{x \to \infty} (f(x))^2 = -3 \cdot 4 = -12$$

Ответ:

$$\lim_{x \to \infty} \big(g(x) \cdot (f(x))^2\big) = -12$$

в) Вычисление предела:

$$\lim_{x \to \infty} \big(g(x) \cdot f(x) + h(x)\big)$$

Понимание предела суммы и произведения:
Мы имеем выражение, состоящее из произведения и суммы функций. Для таких выражений действует правило:

$$\lim_{x \to \infty} \left( g(x) \cdot f(x) + h(x) \right) = \lim_{x \to \infty} \left( g(x) \cdot f(x) \right) + \lim_{x \to \infty} h(x)$$

Вычисляем предел произведения:
Мы начинаем с произведения $g(x)$ и $f(x)$. Используем правило для предела произведения:

$$\lim_{x \to \infty} \left( g(x) \cdot f(x) \right) = \lim_{x \to \infty} g(x) \cdot \lim_{x \to \infty} f(x)$$

Подставляем известные пределы:

$$\lim_{x \to \infty} g(x) = -3, \quad \lim_{x \to \infty} f(x) = 2$$

Получаем:

$$-3 \cdot 2 = -6$$

Вычисляем предел суммы:
Теперь вычисляем предел суммы с $h(x)$. Из условия задачи:

$$\lim_{x \to \infty} h(x) = 9$$

Теперь мы можем найти общий предел:

$$-6 + 9 = 3$$

Ответ:

$$\lim_{x \to \infty} \big(g(x) \cdot f(x) + h(x)\big) = 3$$

г) Вычисление предела:

$$\lim_{x \to \infty} \big(f(x) \cdot g(x) \cdot h(x)\big)$$

Понимание предела произведения:
Мы ищем предел произведения трех функций $f(x)$, $g(x)$ и $h(x)$. Для такого произведения действует следующее свойство:

$$\lim_{x \to \infty} \left( f(x) \cdot g(x) \cdot h(x) \right) = \lim_{x \to \infty} f(x) \cdot \lim_{x \to \infty} g(x) \cdot \lim_{x \to \infty} h(x)$$

Подставляем известные пределы:
Из условия задачи мы знаем:

$$\lim_{x \to \infty} f(x) = 2, \quad \lim_{x \to \infty} g(x) = -3, \quad \lim_{x \to \infty} h(x) = 9$$

Подставляем эти значения в выражение:

$$2 \cdot (-3) \cdot 9 = -6 \cdot 9 = -54$$

Ответ:

$$\lim_{x \to \infty} \big(f(x) \cdot g(x) \cdot h(x)\big) = -54$$

Итоговые ответы:

a) $\lim_{x \to \infty} \big(f(x) + g(x) — h(x)\big) = -10$

б) $\lim_{x \to \infty} \big(g(x) \cdot (f(x))^2\big) = -12$

в) $\lim_{x \to \infty} \big(g(x) \cdot f(x) + h(x)\big) = 3$

г) $\lim_{x \to \infty} \big(f(x) \cdot g(x) \cdot h(x)\big) = -54$