ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 39.30 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $\lim_{x \to -2} \frac{x + 2}{x^3 + 8} = \lim_{x \to -2} \frac{x + 2}{(x + 2)(x^2 — 2x + 4)} = \lim_{x \to -2} \frac{1}{x^2 — 2x + 4} =$

б) $\lim_{x \to -1} \frac{1 + x^3}{1 — x^2} = \lim_{x \to -1} \frac{(1 + x)(1 — x + x^2)}{(1 — x)(1 + x)} = \lim_{x \to -1} \frac{1 — x + x^2}{1 — x} =$

в) $\lim_{x \to 3} \frac{x — 3}{x^3 — 27} = \lim_{x \to 3} \frac{x — 3}{(x — 3)(x^2 + 3x + 9)} = \lim_{x \to 3} \frac{1}{x^2 + 3x + 9} =$

г) ${\lim }_{x\to 4}\frac{16-x^2}{64-x^3}$

а) $\lim_{x \to -2} \frac{x + 2}{x^3 + 8} = \lim_{x \to -2} \frac{x + 2}{(x + 2)(x^2 — 2x + 4)} = \lim_{x \to -2} \frac{1}{x^2 — 2x + 4} =$

$= \frac{1}{(-2)^2 — 2 \cdot (-2) + 4} = \frac{1}{4 + 4 + 4} = \frac{1}{12}$;

б) $\lim_{x \to -1} \frac{1 + x^3}{1 — x^2} = \lim_{x \to -1} \frac{(1 + x)(1 — x + x^2)}{(1 — x)(1 + x)} = \lim_{x \to -1} \frac{1 — x + x^2}{1 — x} =$

$= \frac{1 — (-1) + (-1)^2}{1 — (-1)} = \frac{1 + 1 + 1}{1 + 1} = \frac{3}{2} = 1,5$;

в) $\lim_{x \to 3} \frac{x — 3}{x^3 — 27} = \lim_{x \to 3} \frac{x — 3}{(x — 3)(x^2 + 3x + 9)} = \lim_{x \to 3} \frac{1}{x^2 + 3x + 9} =$

$= \frac{1}{3^2 + 3 \cdot 3 + 9} = \frac{1}{9 + 9 + 9} = \frac{1}{27}$;

г) $\lim_{x \to 4} \frac{16 — x^2}{64 — x^3} = \lim_{x \to 4} \frac{(4 — x)(4 + x)}{(4 — x)(16 + 4x + x^2)} = \lim_{x \to 4} \frac{4 + x}{16 + 4x + x^2} =$

$= \frac{4 + 4}{16 + 4 \cdot 4 + 4^2} = \frac{8}{16 + 16 + 16} = \frac{8}{48} = \frac{1}{6}$

а) $\lim_{x \to -2} \frac{x + 2}{x^3 + 8}$

Рассмотрим исходное выражение:

$$\lim_{x \to -2} \frac{x + 2}{x^3 + 8}$$

Для начала заметим, что $x^3 + 8$ — это куб суммы, которое можно разложить по формуле суммы кубов:

$$x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 — 2x + 4)$$

Подставляем это разложение в исходное выражение:

$$\lim_{x \to -2} \frac{x + 2}{(x + 2)(x^2 — 2x + 4)}$$

Теперь видим, что $x + 2$ в числителе и знаменателе можно сократить (при $x \neq -2$):

$$\lim_{x \to -2} \frac{1}{x^2 — 2x + 4}$$

Теперь подставляем $x = -2$ в оставшееся выражение:

$$\frac{1}{(-2)^2 — 2 \cdot (-2) + 4} = \frac{1}{4 + 4 + 4} = \frac{1}{12}$$

Ответ:

$$\lim_{x \to -2} \frac{x + 2}{x^3 + 8} = \frac{1}{12}$$

б) $\lim_{x \to -1} \frac{1 + x^3}{1 — x^2}$

Рассмотрим исходное выражение:

$$\lim_{x \to -1} \frac{1 + x^3}{1 — x^2}$$

Заметим, что в числителе можно разложить $1 + x^3$ по формуле суммы кубов:

$$1 + x^3 = (1 + x)(1 — x + x^2)$$

А в знаменателе выражение (1 — x^2\ можно разложить как разность квадратов:

$$1 — x^2 = (1 — x)(1 + x)$$

Подставляем эти разложения в исходное выражение:

$$\lim_{x \to -1} \frac{(1 + x)(1 — x + x^2)}{(1 — x)(1 + x)}$$

Сокращаем одинаковые множители $(1 + x)$ и $(1 — x)$ при $x \neq -1$:

$$\lim_{x \to -1} \frac{1 — x + x^2}{1 — x}$$

Подставляем $x = -1$ в оставшееся выражение:

$$\frac{1 — (-1) + (-1)^2}{1 — (-1)} = \frac{1 + 1 + 1}{1 + 1} = \frac{3}{2} = 1,5$$

Ответ:

$$\lim_{x \to -1} \frac{1 + x^3}{1 — x^2} = 1,5$$

в) $\lim_{x \to 3} \frac{x — 3}{x^3 — 27}$

Рассмотрим исходное выражение:

$$\lim_{x \to 3} \frac{x — 3}{x^3 — 27}$$

Заметим, что в знаменателе выражение $x^3 — 27$ — это разность кубов, которое можно разложить по формуле разности кубов:

$$x^3 — 27 = (x — 3)(x^2 + 3x + 9)$$

Подставляем это разложение в исходное выражение:

$$\lim_{x \to 3} \frac{x — 3}{(x — 3)(x^2 + 3x + 9)}$$

Сокращаем одинаковые множители $(x — 3)$ при $x \neq 3$:

$$\lim_{x \to 3} \frac{1}{x^2 + 3x + 9}$$

Подставляем $x = 3$ в оставшееся выражение:

$$\frac{1}{3^2 + 3 \cdot 3 + 9} = \frac{1}{9 + 9 + 9} = \frac{1}{27}$$

Ответ:

$$\lim_{x \to 3} \frac{x — 3}{x^3 — 27} = \frac{1}{27}$$

г) $\lim_{x \to 4} \frac{16 — x^2}{64 — x^3}$

Рассмотрим исходное выражение:

$$\lim_{x \to 4} \frac{16 — x^2}{64 — x^3}$$

В числителе $16 — x^2$ — это разность квадратов:

$$16 — x^2 = (4 — x)(4 + x)$$

В знаменателе $64 — x^3$ — это разность кубов:

$$64 — x^3 = (4 — x)(16 + 4x + x^2)$$

Подставляем эти разложения в исходное выражение:

$$\lim_{x \to 4} \frac{(4 — x)(4 + x)}{(4 — x)(16 + 4x + x^2)}$$

Сокращаем одинаковые множители $(4 — x)$ при $x \neq 4$:

$$\lim_{x \to 4} \frac{4 + x}{16 + 4x + x^2}$$

Подставляем $x = 4$ в оставшееся выражение:

$$\frac{4 + 4}{16 + 4 \cdot 4 + 4^2} = \frac{8}{16 + 16 + 16} = \frac{8}{48} = \frac{1}{6}$$

Ответ:

$$\lim_{x \to 4} \frac{16 — x^2}{64 — x^3} = \frac{1}{6}$$

Итоговые ответы:

а) $\frac{1}{12}$

б) $1,5$

в) $\frac{1}{27}$

г) $\frac{1}{6}$