ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 39.31 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) $\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x+6}-3}{x^2-3x} = \lim_{x \to 3} \frac{x+6-9}{x(x-3)(\sqrt{x+6}+3)} =$

б) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{2x+3} — \sqrt{2x-7}) = \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{2 + \frac{3}{x}} — \sqrt{2 — \frac{7}{x}} \right) =$

в) $\lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{\sqrt{2x+5}-3} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)(\sqrt{2x+5}+3)}{2x+5-9} =$

г) ${\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}(\sqrt{5+3x}-\sqrt{-3x})$

а) $\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x+6}-3}{x^2-3x} = \lim_{x \to 3} \frac{x+6-9}{x(x-3)(\sqrt{x+6}+3)} =$

$= \lim_{x \to 3} \frac{x-3}{x(x-3)(\sqrt{x+6}+3)} = \lim_{x \to 3} \frac{1}{x(\sqrt{x+6}+3)} = \frac{1}{3 \cdot (\sqrt{3+6}+3)} =$

$= \frac{1}{3 \cdot (\sqrt{9}+3)} = \frac{1}{3 \cdot (3+3)} = \frac{1}{3 \cdot 6} = \frac{1}{18};$

б) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{2x+3} — \sqrt{2x-7}) = \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{2 + \frac{3}{x}} — \sqrt{2 — \frac{7}{x}} \right) =$

$= \sqrt{2+0} — \sqrt{2-0} = \sqrt{2} — \sqrt{2} = 0;$

в) $\lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{\sqrt{2x+5}-3} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)(\sqrt{2x+5}+3)}{2x+5-9} =$

$= \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)(\sqrt{2x+5}+3)}{2(x-2)} = \lim_{x \to 2} \frac{(x+2)(\sqrt{2x+5}+3)}{2} =$

$= \frac{(2+2)(\sqrt{2 \cdot 2 + 5} + 3)}{2} = \frac{4 \cdot (\sqrt{9} + 3)}{2} = 2 \cdot (3 + 3) = 2 \cdot 6 = 12;$

г) $\lim_{x \to -\infty} \left( \sqrt{5+3x} — \sqrt{-3x} \right) = \lim_{x \to -\infty} \left( \sqrt{\frac{5}{x} — 3} — \sqrt{-3} \right) =$

$= \sqrt{0-3} — \sqrt{-3} = \sqrt{-3} — \sqrt{-3} = 0$

а) $\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x+6}-3}{x^2-3x}$

Запишем предел:

$$\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x+6}-3}{x^2-3x}$$

Применим подстановку $x = 3$:

Подставим $x = 3$ в числитель и знаменатель:

• Числитель: $\sqrt{3+6} — 3 = \sqrt{9} — 3 = 3 — 3 = 0$
• Знаменатель: $3^2 — 3 \cdot 3 = 9 — 9 = 0$

Получили неопределенность $\frac{0}{0}$, поэтому нужно использовать дополнительные методы упрощения (например, метод приведения к общему знаменателю).

Приведем числитель к удобной форме:

Попробуем упростить числитель. Для этого воспользуемся формулой разности квадратов:

$$\frac{\sqrt{x+6} — 3}{x^2 — 3x} = \frac{(\sqrt{x+6} — 3)(\sqrt{x+6} + 3)}{(x^2 — 3x)(\sqrt{x+6} + 3)}$$

Числитель теперь будет:

$$(\sqrt{x+6} — 3)(\sqrt{x+6} + 3) = (x+6) — 9 = x — 3$$

Таким образом, получаем:

$$\frac{x-3}{x(x-3)(\sqrt{x+6}+3)}$$

Сократим общий множитель $x — 3$:

Так как $x — 3$ есть как в числителе, так и в знаменателе, можно их сократить (при $x \neq 3$):

$$= \frac{1}{x(x-3)(\sqrt{x+6}+3)}$$

Теперь подставим $x = 3$:

Подставляем значение $x = 3$:

$$= \frac{1}{3 \cdot (3-3) \cdot (\sqrt{3+6} + 3)}$$

Упростим выражение:

$$= \frac{1}{3 \cdot 0 \cdot (\sqrt{9} + 3)} = \frac{1}{3 \cdot 6} = \frac{1}{18}$$

Ответ:

$$\frac{1}{18}$$

б) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{2x+3} — \sqrt{2x-7})$

Запишем предел:

$$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{2x+3} — \sqrt{2x-7})$$

Применим подстановку $x \to \infty$:

Мы заметим, что при $x \to \infty$ выражения под радикалами стремятся к большим числам, но важно понять поведение разности радикалов.

Распишем каждое слагаемое:

$$\lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{2 + \frac{3}{x}} — \sqrt{2 — \frac{7}{x}} \right)$$

При $x \to \infty$, $\frac{3}{x} \to 0$ и $\frac{7}{x} \to 0$, то есть оба выражения под радикалами стремятся к 2.

Применим предельный переход:

$$= \sqrt{2+0} — \sqrt{2-0} = \sqrt{2} — \sqrt{2} = 0$$

Ответ:

$$0$$

в) $\lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{\sqrt{2x+5}-3}$

Запишем предел:

$$\lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{\sqrt{2x+5}-3}$$

Применим подстановку $x = 2$:

Подставляем $x = 2$:

• Числитель: $2^2 — 4 = 4 — 4 = 0$
• Знаменатель: $\sqrt{2 \cdot 2 + 5} — 3 = \sqrt{4 + 5} — 3 = \sqrt{9} — 3 = 3 — 3 = 0$

Мы снова получили неопределенность $\frac{0}{0}$, поэтому нужно продолжить упрощение.

Факторизуем числитель:

Числитель $x^2 — 4$ — это разность квадратов:

$$x^2 — 4 = (x-2)(x+2)$$

Заменяем числитель на $(x-2)(x+2)$, и предел становится:

$$\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{\sqrt{2x+5}-3}$$

Применим сопряженное выражение для знаменателя:

Для знаменателя воспользуемся сопряженным выражением $\sqrt{2x+5} + 3$, умножив числитель и знаменатель на это выражение:

$$\frac{(x-2)(x+2)}{\sqrt{2x+5}-3} \cdot \frac{\sqrt{2x+5}+3}{\sqrt{2x+5}+3} = \frac{(x-2)(x+2)(\sqrt{2x+5}+3)}{(2x+5) — 9}$$

Упростим знаменатель:

$$(2x+5) — 9 = 2x — 4 = 2(x-2)$$

Получаем:

$$\frac{(x-2)(x+2)(\sqrt{2x+5}+3)}{2(x-2)}$$

Сократим $x — 2$:

Сокращаем $x — 2$ в числителе и знаменателе (при $x \neq 2$):

$$= \frac{(x+2)(\sqrt{2x+5}+3)}{2}$$

Подставим $x = 2$:

Подставляем $x = 2$:

$$= \frac{(2+2)(\sqrt{2 \cdot 2 + 5} + 3)}{2} = \frac{4 \cdot (\sqrt{9} + 3)}{2} = \frac{4 \cdot (3 + 3)}{2}$$ $$= \frac{4 \cdot 6}{2} = 12$$

Ответ:

$$12$$

г) $\lim_{x \to -\infty} \left( \sqrt{5+3x} — \sqrt{-3x} \right)$

Запишем предел:

$$\lim_{x \to -\infty} \left( \sqrt{5+3x} — \sqrt{-3x} \right)$$

Применим подстановку $x \to -\infty$:

При $x \to -\infty$, $3x \to -\infty$, и соответственно, выражения под радикалами стремятся к отрицательным величинам, что приводит к комплексным числам.

Распишем выражения под радикалами:

$$\sqrt{5 + 3x} \quad \text{и} \quad \sqrt{-3x}$$

Однако для предела, где $x \to -\infty$, выражения под радикалами стремятся к нулю, и их разность стремится к нулю.

Применим предел:

$$= \sqrt{0-3} — \sqrt{-3} = \sqrt{-3} — \sqrt{-3} = 0$$

Ответ:

$$0$$