ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 39.32 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{\mathrm{tg}x}$

б) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin 3x + \sin x}{\cos 3x + \cos x} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{2 \cdot \sin \frac{3x + x}{2} \cdot \cos \frac{3x — x}{2}}{2 \cdot \cos \frac{3x + x}{2} \cdot \cos \frac{3x — x}{2}} =$

в) ${\lim }_{x\to \frac{\pi }{2}}\frac{\cos x}{\mathrm{ctg}x}$

г) ${\lim }_{x\to 0}\frac{\cos 5x-\cos 3x}{\sin 5x-\sin 2x}{}_{}$

а) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{\operatorname{tg} x} = \lim_{x \to 0} \left( \sin x : \frac{\sin x}{\cos x} \right) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \cos x = \cos 0 = 1$;

б) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin 3x + \sin x}{\cos 3x + \cos x} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{2 \cdot \sin \frac{3x + x}{2} \cdot \cos \frac{3x — x}{2}}{2 \cdot \cos \frac{3x + x}{2} \cdot \cos \frac{3x — x}{2}} =$

$= \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{2 \cdot \sin 2x \cdot \cos x}{2 \cdot \cos 2x \cdot \cos x} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \operatorname{tg} 2x = \operatorname{tg} \left( 2 \cdot \frac{\pi}{2} \right) = \operatorname{tg} \pi = 0$;

в) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\operatorname{ctg} x} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \left( \cos x : \frac{\cos x}{\sin x} \right) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \sin x = \sin \frac{\pi}{2} = 1$;

г) $\lim_{x \to 0} \frac{\cos 5x — \cos 3x}{\sin 5x — \sin 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{-2 \cdot \sin \frac{5x + 3x}{2} \cdot \sin \frac{5x — 3x}{2}}{2 \cdot \cos \frac{5x + 3x}{2} \cdot \sin \frac{5x — 3x}{2}} =$

$= \lim_{x \to 0} \frac{-2 \cdot \sin 4x \cdot \sin x}{2 \cdot \cos 4x \cdot \sin x} = \lim_{x \to 0} \left( -\frac{\sin 4x}{\cos 4x} \right) = \lim_{x \to 0} (-\operatorname{tg} 4x) = -\operatorname{tg} (0 \cdot 4) = 0$

а) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{\operatorname{tg} x}$

Исходное выражение:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{\operatorname{tg} x}$$

Определение тангенса:
Напоминаем, что тангенс — это отношение синуса к косинусу:

$$\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$$

Подставим это в исходное выражение:

$$\frac{\sin x}{\operatorname{tg} x} = \frac{\sin x}{\frac{\sin x}{\cos x}} = \sin x \cdot \frac{\cos x}{\sin x}$$

Упростим выражение:
Мы видим, что $\sin x$ сокращается:

$$\sin x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = \cos x$$

Переход к пределу:
Теперь нам нужно найти предел функции $\cos x$ при $x \to 0$:

$$\lim_{x \to 0} \cos x = \cos 0 = 1$$

Ответ для пункта а):

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{\operatorname{tg} x} = 1$$

б) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin 3x + \sin x}{\cos 3x + \cos x}$

Исходное выражение:

$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin 3x + \sin x}{\cos 3x + \cos x}$$

Использование формулы суммы синусов и косинусов:
Воспользуемся формулами для суммы синусов и косинусов:

$$\sin A + \sin B = 2 \cdot \sin \left(\frac{A + B}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{A — B}{2}\right)$$

и

$$\cos A + \cos B = 2 \cdot \cos \left(\frac{A + B}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{A — B}{2}\right)$$

Применим формулы к числителю и знаменателю:

Числитель:

$$\sin 3x + \sin x = 2 \cdot \sin \left( \frac{3x + x}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{3x — x}{2} \right) = 2 \cdot \sin 2x \cdot \cos x$$

Знаменатель:

$$\cos 3x + \cos x = 2 \cdot \cos \left( \frac{3x + x}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{3x — x}{2} \right) = 2 \cdot \cos 2x \cdot \cos x$$

Подставим полученные выражения:

$$\frac{\sin 3x + \sin x}{\cos 3x + \cos x} = \frac{2 \cdot \sin 2x \cdot \cos x}{2 \cdot \cos 2x \cdot \cos x}$$

Сокращаем одинаковые множители $2$ и $\cos x$:

$$\frac{\sin 2x}{\cos 2x}$$

Переход к пределу:
Теперь находим предел функции $\frac{\sin 2x}{\cos 2x}$ при $x \to \frac{\pi}{2}$:

$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \operatorname{tg} 2x$$

Вычисление тангенса:
$\operatorname{tg} 2x$ при $x = \frac{\pi}{2}$ равно:

$$\operatorname{tg} \left( 2 \cdot \frac{\pi}{2} \right) = \operatorname{tg} \pi = 0$$

Ответ для пункта б):

$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin 3x + \sin x}{\cos 3x + \cos x} = 0$$

в) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\operatorname{ctg} x}$

Исходное выражение:

$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\operatorname{ctg} x}$$

Определение котангенса:
Напоминаем, что котангенс — это отношение косинуса к синусу:

$$\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$$

Подставим это в исходное выражение:

$$\frac{\cos x}{\operatorname{ctg} x} = \frac{\cos x}{\frac{\cos x}{\sin x}} = \cos x \cdot \frac{\sin x}{\cos x}$$

Упростим выражение:
Мы видим, что $\cos x$ сокращается:

$$\cos x \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = \sin x$$

Переход к пределу:
Теперь нам нужно найти предел функции $\sin x$ при $x \to \frac{\pi}{2}$:

$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \sin x = \sin \frac{\pi}{2} = 1$$

Ответ для пункта в):

$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\operatorname{ctg} x} = 1$$

г) $\lim_{x \to 0} \frac{\cos 5x — \cos 3x}{\sin 5x — \sin 2x}$

Исходное выражение:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\cos 5x — \cos 3x}{\sin 5x — \sin 2x}$$

Использование формул разности косинусов и синусов:
Напоминаем, что для разности косинусов и синусов существуют следующие формулы:

$$\cos A — \cos B = -2 \cdot \sin \left(\frac{A + B}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{A — B}{2}\right)$$

и

$$\sin A — \sin B = 2 \cdot \cos \left(\frac{A + B}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{A — B}{2}\right)$$

Применим формулы к числителю и знаменателю:

Числитель:

$$\cos 5x — \cos 3x = -2 \cdot \sin \left( \frac{5x + 3x}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{5x — 3x}{2} \right) = -2 \cdot \sin 4x \cdot \sin x$$

Знаменатель:

$$\sin 5x — \sin 2x = 2 \cdot \cos \left( \frac{5x + 2x}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{5x — 2x}{2} \right) = 2 \cdot \cos 3.5x \cdot \sin x$$

Подставим полученные выражения:

$$\frac{\cos 5x — \cos 3x}{\sin 5x — \sin 2x} = \frac{-2 \cdot \sin 4x \cdot \sin x}{2 \cdot \cos 3.5x \cdot \sin x}$$

Сокращаем одинаковые множители $2$ и $\sin x$:

$$\frac{-\sin 4x}{\cos 3.5x}$$

Переход к пределу:
Теперь находим предел выражения при $x \to 0$:

$$\lim_{x \to 0} \frac{-\sin 4x}{\cos 3.5x} = \frac{-\sin 0}{\cos 0} = \frac{0}{1} = 0$$

Ответ для пункта г):

$$\lim_{x \to 0} \frac{\cos 5x — \cos 3x}{\sin 5x — \sin 2x} = 0$$

Таким образом, ответы:

а) 1

б) 0

в) 1

г) 0