ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 39.33 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

a) ${\lim }_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}$

б) ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin 7x-\sin 3x}{\sin 8x-\sin 2x}$

a) $\lim_{x \to 0} \frac{1 — \cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \sin^2 \frac{x}{2}}{x^2} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}} \cdot \frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}} \right) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$;

б) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 7x — \sin 3x}{\sin 8x — \sin 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \cos \frac{7x + 3x}{2} \cdot \sin \frac{7x — 3x}{2}}{2 \cdot \cos \frac{8x + 2x}{2} \cdot \sin \frac{8x — 2x}{2}} =$

$= \lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \cos 5x \cdot \sin 2x}{2 \cdot \cos 5x \cdot \sin 3x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 3x} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{2 \cdot \sin 2x}{3x} \cdot \frac{3x}{\sin 3x} \right) =$

$= \lim_{x \to 0} \left( \frac{2 \cdot \frac{\sin 2x}{2x}}{\frac{\sin 3x}{3x}} \right) = \frac{2}{3} \cdot 1 : 1 = \frac{2}{3}$

Задание а) $\lim_{x \to 0} \frac{1 — \cos x}{x^2}$

Для решения этого предела воспользуемся тригонометрическими тождествами и стандартными пределами.

Применим тождество для выражения $1 — \cos x$:

Мы используем известное тригонометрическое тождество:

$$1 — \cos x = 2 \cdot \sin^2 \left( \frac{x}{2} \right)$$

Подставим это тождество в исходный предел:

$$\lim_{x \to 0} \frac{1 — \cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \sin^2 \left( \frac{x}{2} \right)}{x^2}$$

Приведем выражение к удобному виду для дальнейшего решения:

Теперь можем переписать дробь так, чтобы изолировать $\sin \left( \frac{x}{2} \right)$:

$$\frac{2 \cdot \sin^2 \left( \frac{x}{2} \right)}{x^2} = \frac{2 \cdot \left( \sin \frac{x}{2} \right)^2}{x^2}$$

Теперь заметим, что $\left( \sin \frac{x}{2} \right)^2$ — это квадрат функции $\sin \frac{x}{2}$.

Перепишем дробь, используя переменную $y = \frac{x}{2}$. Тогда:

$$\frac{2 \cdot \sin^2 \left( \frac{x}{2} \right)}{x^2} = \frac{2 \cdot \sin^2 y}{(2y)^2} = \frac{2 \cdot \sin^2 y}{4y^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin^2 y}{y^2}$$

Используем стандартный предел:

Известно, что:

$$\lim_{y \to 0} \frac{\sin y}{y} = 1$$

Таким образом, можно написать:

$$\lim_{y \to 0} \frac{\sin^2 y}{y^2} = \left( \lim_{y \to 0} \frac{\sin y}{y} \right)^2 = 1^2 = 1$$

Подставляем в окончательную формулу:

Теперь подставляем этот результат в наш предел:

$$\lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \sin^2 \frac{x}{2}}{x^2} = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$$

Таким образом, решение для а) даёт:

$$\lim_{x \to 0} \frac{1 — \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$$

Задание б) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 7x — \sin 3x}{\sin 8x — \sin 2x}$

Для решения этого предела воспользуемся формулой для разности синусов:

$$\sin A — \sin B = 2 \cdot \cos \left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Применим эту формулу как для числителя, так и для знаменателя.

Числитель: $\sin 7x — \sin 3x$

Применяем формулу для разности синусов:

$$\sin 7x — \sin 3x = 2 \cdot \cos \left( \frac{7x + 3x}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{7x — 3x}{2} \right) = 2 \cdot \cos 5x \cdot \sin 2x$$

Знаменатель: $\sin 8x — \sin 2x$

Применяем ту же формулу для разности синусов:

$$\sin 8x — \sin 2x = 2 \cdot \cos \left( \frac{8x + 2x}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{8x — 2x}{2} \right) = 2 \cdot \cos 5x \cdot \sin 3x$$

Подставляем эти выражения в исходный предел:

Теперь можем подставить числитель и знаменатель в предел:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 7x — \sin 3x}{\sin 8x — \sin 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \cos 5x \cdot \sin 2x}{2 \cdot \cos 5x \cdot \sin 3x}$$

Упростим выражение, заметив, что $2 \cdot \cos 5x$ сокращается:

$$= \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 3x}$$

Используем стандартные пределы:

Для предела вида $\lim_{x \to 0} \frac{\sin a x}{\sin b x}$, мы можем воспользоваться следующими пределами:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin a x}{a x} = 1 \quad \text{и} \quad \lim_{x \to 0} \frac{\sin b x}{b x} = 1$$

Таким образом, можно переписать дробь:

$$\frac{\sin 2x}{\sin 3x} = \frac{\frac{\sin 2x}{2x}}{\frac{\sin 3x}{3x}} \cdot \frac{2x}{3x}$$

Пределы для синусов:

Теперь подставим пределы:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin 2x}{2x}}{\frac{\sin 3x}{3x}} = \frac{2}{3}, \quad \lim_{x \to 0} \frac{2x}{3x} = 1$$

Итоговый результат:

Подставляем результаты:

$$= \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{2}{3}$$

Таким образом, решение для б) даёт:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 7x — \sin 3x}{\sin 8x — \sin 2x} = \frac{2}{3}$$

Ответ:

а) $\frac{1}{2}$,
б) $\frac{2}{3}$.