ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 39.36 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите приращение функции $y = \sin x$ при переходе от точки $x_0 = 0$ к точке $x_1$, если:

а) $x_1 = \frac{\pi}{6}$;

б) $x_1 = -\frac{\pi}{6}$;

в) $x_1 = \frac{\pi}{4}$;

г) $x_1 = -\frac{\pi}{3}$.

Пусть $f(x) = \sin x$;

а) $x_0 = 0$ и $x_1 = \frac{\pi}{6}$:

$$\Delta y = f\left(\frac{\pi}{6}\right) — f(0) = \sin \frac{\pi}{6} — \sin 0 = \frac{1}{2} — 0 = \frac{1}{2};$$

б) $x_0 = 0$ и $x_1 = -\frac{\pi}{6}$:

$$\Delta y = f\left(-\frac{\pi}{6}\right) — f(0) = \sin \left(-\frac{\pi}{6}\right) — \sin 0 = -\frac{1}{2} — 0 = -\frac{1}{2};$$

в) $x_0 = 0$ и $x_1 = \frac{\pi}{4}$:

$$\Delta y = f\left(\frac{\pi}{4}\right) — f(0) = \sin \frac{\pi}{4} — \sin 0 = \frac{\sqrt{2}}{2} — 0 = \frac{\sqrt{2}}{2};$$

г) $x_0 = 0$ и $x_1 = -\frac{\pi}{3}$:

$$\Delta y = f\left(-\frac{\pi}{3}\right) — f(0) = \sin \left(-\frac{\pi}{3}\right) — \sin 0 = -\frac{\sqrt{3}}{2} — 0 = -\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Необходимо найти приращение функции $y = \sin x$ при переходе от точки $x_0 = 0$ к точке $x_1$, где $x_1$ принимает различные значения. Мы будем вычислять приращение функции $\Delta y$ с использованием формулы:

$$\Delta y = f(x_1) — f(x_0)$$

Здесь $f(x) = \sin x$, а $x_0 = 0$. Рассмотрим каждую подзадачу по очереди.

Задание а) $x_0 = 0$ и $x_1 = \frac{\pi}{6}$

Записываем формулу для приращения:

$$\Delta y = f\left(\frac{\pi}{6}\right) — f(0)$$

Вычисляем значения функции в точках $x_0 = 0$ и $x_1 = \frac{\pi}{6}$:

• $f(0) = \sin(0) = 0$
• $f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$

Подставляем значения в формулу для приращения:

$$\Delta y = \frac{1}{2} — 0 = \frac{1}{2}$$

Ответ: Приращение функции при переходе от точки $x_0 = 0$ к точке $x_1 = \frac{\pi}{6}$ равно $\frac{1}{2}$.

Задание б) $x_0 = 0$ и $x_1 = -\frac{\pi}{6}$

Записываем формулу для приращения:

$$\Delta y = f\left(-\frac{\pi}{6}\right) — f(0)$$

Вычисляем значения функции в точках $x_0 = 0$ и $x_1 = -\frac{\pi}{6}$:

• $f(0) = \sin(0) = 0$
• $f\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$

Подставляем значения в формулу для приращения:

$$\Delta y = -\frac{1}{2} — 0 = -\frac{1}{2}$$

Ответ: Приращение функции при переходе от точки $x_0 = 0$ к точке $x_1 = -\frac{\pi}{6}$ равно $-\frac{1}{2}$.

Задание в) $x_0 = 0$ и $x_1 = \frac{\pi}{4}$

Записываем формулу для приращения:

$$\Delta y = f\left(\frac{\pi}{4}\right) — f(0)$$

Вычисляем значения функции в точках $x_0 = 0$ и $x_1 = \frac{\pi}{4}$:

• $f(0) = \sin(0) = 0$
• $f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставляем значения в формулу для приращения:

$$\Delta y = \frac{\sqrt{2}}{2} — 0 = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Ответ: Приращение функции при переходе от точки $x_0 = 0$ к точке $x_1 = \frac{\pi}{4}$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Задание г) $x_0 = 0$ и $x_1 = -\frac{\pi}{3}$

Записываем формулу для приращения:

$$\Delta y = f\left(-\frac{\pi}{3}\right) — f(0)$$

Вычисляем значения функции в точках $x_0 = 0$ и $x_1 = -\frac{\pi}{3}$:

• $f(0) = \sin(0) = 0$
• $f\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Подставляем значения в формулу для приращения:

$$\Delta y = -\frac{\sqrt{3}}{2} — 0 = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Ответ: Приращение функции при переходе от точки $x_0 = 0$ к точке $x_1 = -\frac{\pi}{3}$ равно $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Итоговые ответы:

а) Приращение при $x_0 = 0$ и $x_1 = \frac{\pi}{6}$ равно $\frac{1}{2}$.

б) Приращение при $x_0 = 0$ и $x_1 = -\frac{\pi}{6}$ равно $-\frac{1}{2}$.

в) Приращение при $x_0 = 0$ и $x_1 = \frac{\pi}{4}$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

г) Приращение при $x_0 = 0$ и $x_1 = -\frac{\pi}{3}$ равно $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.