ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 39.37 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите приращение функции $y = 2 \sin x \cdot \cos x$ при переходе от точки $x_0 = 0$ к точке $x_1$, если:

а) $x_1 = -\frac{\pi}{8}$;

б) $x_1 = \frac{\pi}{12}$;

в) $x_1 = \frac{\pi}{8}$;

г) $x_1 = -\frac{\pi}{12}$.

Пусть $f(x) = 2 \cdot \sin x \cdot \cos x = \sin 2x$;

а) $x_0 = 0$ и $x_1 = -\frac{\pi}{8}$:

$$\Delta y = f\left(-\frac{\pi}{8}\right) — f(0) = \sin\left(-\frac{2\pi}{8}\right) — \sin 0 = \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) — 0 = -\frac{\sqrt{2}}{2};$$

б) $x_0 = 0$ и $x_1 = \frac{\pi}{12}$:

$$\Delta y = f\left(\frac{\pi}{12}\right) — f(0) = \sin\frac{2\pi}{12} — \sin 0 = \sin\frac{\pi}{6} — 0 = \frac{1}{2};$$

в) $x_0 = 0$ и $x_1 = \frac{\pi}{8}$:

$$\Delta y = f\left(\frac{\pi}{8}\right) — f(0) = \sin\frac{2\pi}{8} — \sin 0 = \sin\frac{\pi}{4} — 0 = \frac{\sqrt{2}}{2};$$

г) $x_0 = 0$ и $x_1 = -\frac{\pi}{12}$:

$$\Delta y = f\left(-\frac{\pi}{12}\right) — f(0) = \sin\left(-\frac{2\pi}{12}\right) — \sin 0 = \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) — 0 = -\frac{1}{2}$$

Нам дана функция $f(x) = 2 \sin x \cos x$, которую мы можем упростить, используя формулу для удвоенного угла:

$$f(x) = \sin(2x)$$

Нужно найти приращение функции $\Delta y = f(x_1) — f(x_0)$, где $x_0 = 0$ и $x_1$ — различные значения. Рассмотрим все случаи по очереди.

а) $x_0 = 0$ и $x_1 = -\frac{\pi}{8}$:

Начнем с того, что при $x_0 = 0$:

$$f(0) = \sin(2 \cdot 0) = \sin(0) = 0$$

Для $x_1 = -\frac{\pi}{8}$:

$$f\left(-\frac{\pi}{8}\right) = \sin\left(2 \cdot \left(-\frac{\pi}{8}\right)\right) = \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)$$

Используем, что $\sin(-\theta) = -\sin(\theta)$, следовательно:

$$\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Теперь вычислим приращение $\Delta y$:

$$\Delta y = f\left(-\frac{\pi}{8}\right) — f(0) = -\frac{\sqrt{2}}{2} — 0 = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Итак, для этого случая приращение функции:

$$\Delta y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

б) $x_0 = 0$ и $x_1 = \frac{\pi}{12}$:

Для $x_0 = 0$ мы уже знаем, что:

$$f(0) = \sin(0) = 0$$

Для $x_1 = \frac{\pi}{12}$:

$$f\left(\frac{\pi}{12}\right) = \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{12}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$$

Из таблицы значений тригонометрических функций знаем, что:

$$\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$$

Приращение $\Delta y$ будет равно:

$$\Delta y = f\left(\frac{\pi}{12}\right) — f(0) = \frac{1}{2} — 0 = \frac{1}{2}$$

Итак, для этого случая приращение функции:

$$\Delta y = \frac{1}{2}$$

в) $x_0 = 0$ и $x_1 = \frac{\pi}{8}$:

Для $x_0 = 0$:

$$f(0) = \sin(0) = 0$$

Для $x_1 = \frac{\pi}{8}$:

$$f\left(\frac{\pi}{8}\right) = \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)$$

Из таблицы значений тригонометрических функций знаем, что:

$$\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Приращение $\Delta y$ будет равно:

$$\Delta y = f\left(\frac{\pi}{8}\right) — f(0) = \frac{\sqrt{2}}{2} — 0 = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Итак, для этого случая приращение функции:

$$\Delta y = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

г) $x_0 = 0$ и $x_1 = -\frac{\pi}{12}$:

Для $x_0 = 0$:

$$f(0) = \sin(0) = 0$$

Для $x_1 = -\frac{\pi}{12}$:

$$f\left(-\frac{\pi}{12}\right) = \sin\left(2 \cdot \left(-\frac{\pi}{12}\right)\right) = \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)$$

Используем, что $\sin(-\theta) = -\sin(\theta)$, следовательно:

$$\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$$

Приращение $\Delta y$ будет равно:

$$\Delta y = f\left(-\frac{\pi}{12}\right) — f(0) = -\frac{1}{2} — 0 = -\frac{1}{2}$$

Итак, для этого случая приращение функции:

$$\Delta y = -\frac{1}{2}$$

Итоговый результат:

Для $x_0 = 0$ и $x_1 = -\frac{\pi}{8}$:

$$\Delta y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Для $x_0 = 0$ и $x_1 = \frac{\pi}{12}$:

$$\Delta y = \frac{1}{2}$$

Для $x_0 = 0$ и $x_1 = \frac{\pi}{8}$:

$$\Delta y = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Для $x_0 = 0$ и $x_1 = -\frac{\pi}{12}$:

$$\Delta y = -\frac{1}{2}$$