ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 39.38 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите приращение функции $y = \sqrt{x}$ при переходе от точки $x_0 = 1$ к точке $x_1 = x_0 + \Delta x$, если:

а) $\Delta x = 0,44$;

б) $\Delta x = -0,19$;

в) $\Delta x = 0,21$;

г) $\Delta x = 0,1025$.

Пусть $f(x) = \sqrt{x}$;

а) $x_0 = 1$ и $\Delta x = 0,44$:

$$\Delta y = f(1 + 0,44) — f(1) = f(1,44) — f(1) = \sqrt{1,44} — \sqrt{1} = 1,2 — 1 = 0,2;$$

б) $x_0 = 1$ и $\Delta x = -0,19$:

$$\Delta y = f(1 — 0,19) — f(1) = f(0,81) — f(1) = \sqrt{0,81} — \sqrt{1} = 0,9 — 1 = -0,1;$$

в) $x_0 = 1$ и $\Delta x = 0,21$:

$$\Delta y = f(1 + 0,21) — f(1) = f(1,21) — f(1) = \sqrt{1,21} — \sqrt{1} = 1,1 — 1 = 0,1;$$

г) $x_0 = 1$ и $\Delta x = 0,1025$:

$$\Delta y = f(1 + 0,1025) — f(1) = f(1,1025) — f(1) = \sqrt{1,1025} — \sqrt{1} =$$ $$= 1,05 — 1 = 0,05$$

Рассматриваем функцию $f(x) = \sqrt{x}$, и наша цель — найти приращение этой функции при переходе от точки $x_0 = 1$ к точке $x_1 = x_0 + \Delta x$, для разных значений $\Delta x$.

Шаг 1: Определение приращения функции

Приращение функции $y = f(x)$ для перехода от точки $x_0$ к точке $x_1$ можно выразить как:

$$\Delta y = f(x_1) — f(x_0)$$

где:

$x_0$ — исходная точка,

$x_1 = x_0 + \Delta x$ — конечная точка, с которой получаем новое значение функции.

Теперь перейдем к решению по пунктам.

а) $x_0 = 1$ и $\Delta x = 0,44$

Исходная точка $x_0 = 1$.

Конечная точка $x_1 = x_0 + \Delta x = 1 + 0,44 = 1,44$.

Подставляем эти значения в выражение для приращения функции:

$$\Delta y = f(1,44) — f(1)$$

Вычисляем значения функции в этих точках:

• $f(1) = \sqrt{1} = 1$,
• $f(1,44) = \sqrt{1,44} = 1,2$ (это можно проверить с помощью калькулятора или ручного вычисления).

Подставляем найденные значения в формулу для приращения:

$$\Delta y = 1,2 — 1 = 0,2$$

Ответ: Приращение функции при $\Delta x = 0,44$ равно $0,2$.

б) $x_0 = 1$ и $\Delta x = -0,19$

Исходная точка $x_0 = 1$.

Конечная точка $x_1 = x_0 + \Delta x = 1 — 0,19 = 0,81$.

Подставляем эти значения в выражение для приращения функции:

$$\Delta y = f(0,81) — f(1)$$

Вычисляем значения функции в этих точках:

• $f(1) = \sqrt{1} = 1$,
• $f(0,81) = \sqrt{0,81} = 0,9$ (это также легко вычислить).

Подставляем найденные значения в формулу для приращения:

$$\Delta y = 0,9 — 1 = -0,1$$

Ответ: Приращение функции при $\Delta x = -0,19$ равно $-0,1$.

в) $x_0 = 1$ и $\Delta x = 0,21$

Исходная точка $x_0 = 1$.

Конечная точка $x_1 = x_0 + \Delta x = 1 + 0,21 = 1,21$.

Подставляем эти значения в выражение для приращения функции:

$$\Delta y = f(1,21) — f(1)$$

Вычисляем значения функции в этих точках:

• $f(1) = \sqrt{1} = 1$,
• $f(1,21) = \sqrt{1,21} = 1,1$.

Подставляем найденные значения в формулу для приращения:

$$\Delta y = 1,1 — 1 = 0,1$$

Ответ: Приращение функции при $\Delta x = 0,21$ равно $0,1$.

г) $x_0 = 1$ и $\Delta x = 0,1025$

Исходная точка $x_0 = 1$.

Конечная точка $x_1 = x_0 + \Delta x = 1 + 0,1025 = 1,1025$.

Подставляем эти значения в выражение для приращения функции:

$$\Delta y = f(1,1025) — f(1)$$

Вычисляем значения функции в этих точках:

• $f(1) = \sqrt{1} = 1$,
• $f(1,1025) = \sqrt{1,1025} \approx 1,05$ (точное значение можно вычислить с помощью калькулятора).

Подставляем найденные значения в формулу для приращения:

$$\Delta y = 1,05 — 1 = 0,05$$

Ответ: Приращение функции при $\Delta x = 0,1025$ равно $0,05$.

Итоговые ответы:

а) $\Delta y = 0,2$,

б) $\Delta y = -0,1$,

в) $\Delta y = 0,1$,

г) $\Delta y = 0,05$.