ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 39.39 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

По графику функции, представленному на рисунке, найдите приращение аргумента и приращение функции при переходе от точки $x_0$ к точке $x_1$:

а) рис. 81

б) рис. 82

Определим функцию и значения аргумента по рисунку:

а) $f(x) = \sqrt{x}$:

$x_0 = 4$ и $x_1 = 2$;

$$\Delta y = f(2) — f(4) = \sqrt{2} — \sqrt{4} = \sqrt{2} — 2;$$

б) $f(x) = x^2$:

$x_0 = -3$ и $x_1 = -1$;

$$\Delta y = f(-1) — f(-3) = (-1)^2 — (-3)^2 = 1 — 9 = -8;$$

Нам нужно найти приращение функции и приращение аргумента для двух функций, используя графики (или значения, предполагаемые из задания). Заданы две функции $f(x)$, а также два интервала на оси $x$.

а) $f(x) = \sqrt{x}$, на интервале от $x_0 = 4$ до $x_1 = 2$.

б) $f(x) = x^2$, на интервале от $x_0 = -3$ до $x_1 = -1$.

Решение:

а) $f(x) = \sqrt{x}$

Определим приращение аргумента $\Delta x$.

Приращение аргумента (разница между значениями аргумента) на интервале от $x_0 = 4$ до $x_1 = 2$ вычисляется как:

$$\Delta x = x_1 — x_0 = 2 — 4 = -2$$

То есть аргумент уменьшился на 2 единицы.

Определим приращение функции $\Delta y$.

Приращение функции (разница между значениями функции) на том же интервале определяется как:

$$\Delta y = f(x_1) — f(x_0)$$

Подставим функции в значения $x_1 = 2$ и $x_0 = 4$:

$$f(2) = \sqrt{2}$$ $$f(4) = \sqrt{4} = 2$$

Теперь вычислим приращение функции:

$$\Delta y = f(2) — f(4) = \sqrt{2} — 2$$

Это и будет приращение функции на интервале от $x_0 = 4$ до $x_1 = 2$. Результат можно оставить в виде разности $\sqrt{2} — 2$, так как это точное значение.

б) $f(x) = x^2$

Определим приращение аргумента $\Delta x$.

В данном случае аргумент изменяется от $x_0 = -3$ до $x_1 = -1$. Приращение аргумента:

$$\Delta x = x_1 — x_0 = -1 — (-3) = -1 + 3 = 2$$

То есть аргумент увеличился на 2 единицы.

Определим приращение функции $\Delta y$.

Приращение функции $\Delta y$ на интервале от $x_0 = -3$ до $x_1 = -1$ равно:

$$\Delta y = f(x_1) — f(x_0)$$

Подставляем функции для значений $x_1 = -1$ и $x_0 = -3$:

$$f(-1) = (-1)^2 = 1$$ $$f(-3) = (-3)^2 = 9$$

Теперь вычислим приращение функции:

$$\Delta y = f(-1) — f(-3) = 1 — 9 = -8$$

Это и будет приращение функции на интервале от $x_0 = -3$ до $x_1 = -1$.

Ответ:

а) Для функции $f(x) = \sqrt{x}$ на интервале от $x_0 = 4$ до $x_1 = 2$:

• Приращение аргумента: $\Delta x = -2$
• Приращение функции: $\Delta y = \sqrt{2} — 2$

б) Для функции $f(x) = x^2$ на интервале от $x_0 = -3$ до $x_1 = -1$:

• Приращение аргумента: $\Delta x = 2$
• Приращение функции: $\Delta y = -8$