ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 39.4 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Известно: $\lim_{x \to \infty} f(x) = -2$, $\lim_{x \to \infty} g(x) = -10$, $\lim_{x \to \infty} h(x) = 6$. Вычислите:

a) ${\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}\frac{f(x)}{g(x)}$

б) ${\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}\frac{3f(x)+h(x)}{2g(x)+15}$

в) ${\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}\frac{f(x)\cdot h(x)}{g(x)}$

г) ${\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}\frac{3g(x)}{5h(x)}$

Известно: $\lim_{x \to \infty} f(x) = -2$, $\lim_{x \to \infty} g(x) = -10$, $\lim_{x \to \infty} h(x) = 6$;

a) $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{-2}{-10} = \frac{2}{10} = 0,2$;

б) $\lim_{x \to \infty} \frac{3f(x) + h(x)}{2g(x) + 15} = \frac{3 \cdot (-2) + 6}{2 \cdot (-10) + 15} = \frac{-6 + 6}{-20 + 15} = \frac{0}{-5} = 0$;

в) $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x) \cdot h(x)}{g(x)} = \frac{-2 \cdot 6}{-10} = \frac{-12}{-10} = \frac{12}{10} = 1,2$;

г) $\lim_{x \to \infty} \frac{3g(x)}{5h(x)} = \frac{3 \cdot (-10)}{5 \cdot 6} = \frac{-30}{30} = -1$

Известно, что:

$$\lim_{x \to \infty} f(x) = -2, \quad \lim_{x \to \infty} g(x) = -10, \quad \lim_{x \to \infty} h(x) = 6$$

То есть при $x \to \infty$ функции $f(x)$, $g(x)$ и $h(x)$ сходятся к определенным значениям: $f(x)$ стремится к $-2$, $g(x)$ стремится к $-10$, и $h(x)$ стремится к $6$.

Теперь давайте разберемся с каждым из пунктов.

a) Вычисление предела:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)}$$

Понимание предела частного:
Это выражение — частное двух функций. Чтобы найти предел частного, используется свойство предела частного:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to \infty} f(x)}{\lim_{x \to \infty} g(x)}$$

При этом важно, чтобы предел знаменателя $g(x)$ не был равен нулю, поскольку деление на ноль невозможно.

Подставляем известные пределы:
Нам даны значения пределов:

$$\lim_{x \to \infty} f(x) = -2, \quad \lim_{x \to \infty} g(x) = -10$$

Подставляем эти значения в формулу:

$$\frac{-2}{-10} = \frac{2}{10} = 0,2$$

Ответ:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = 0,2$$

б) Вычисление предела:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{3f(x) + h(x)}{2g(x) + 15}$$

Понимание предела сложного выражения:
Это выражение состоит из суммы и произведений функций в числителе и знаменателе. Чтобы найти предел такого выражения, используем свойство предела для суммы и произведения:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{A(x)}{B(x)} = \frac{\lim_{x \to \infty} A(x)}{\lim_{x \to \infty} B(x)}$$

где $A(x) = 3f(x) + h(x)$, а $B(x) = 2g(x) + 15$. Мы можем вычислить предел числителя и знаменателя по отдельности.

Вычисляем предел числителя:
Числитель состоит из двух частей:

$$3f(x) + h(x)$$

Используем правило предела для суммы и произведения:

$$\lim_{x \to \infty} \left( 3f(x) + h(x) \right) = 3 \cdot \lim_{x \to \infty} f(x) + \lim_{x \to \infty} h(x)$$

Подставляем известные значения:

$$3 \cdot (-2) + 6 = -6 + 6 = 0$$

Вычисляем предел знаменателя:
Знаменатель состоит из двух частей:

$$2g(x) + 15$$

Используем правило для суммы и произведения:

$$\lim_{x \to \infty} \left( 2g(x) + 15 \right) = 2 \cdot \lim_{x \to \infty} g(x) + 15$$

Подставляем известные значения:

$$2 \cdot (-10) + 15 = -20 + 15 = -5$$

Теперь подставляем все в исходное выражение:

$$\frac{0}{-5} = 0$$

Ответ:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{3f(x) + h(x)}{2g(x) + 15} = 0$$

в) Вычисление предела:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x) \cdot h(x)}{g(x)}$$

Понимание предела произведения в числителе:
Здесь мы имеем произведение двух функций в числителе и одну функцию в знаменателе. Для таких выражений используется свойство предела для произведений и частных:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{A(x) \cdot B(x)}{C(x)} = \frac{\lim_{x \to \infty} A(x) \cdot \lim_{x \to \infty} B(x)}{\lim_{x \to \infty} C(x)}$$

В данном случае $A(x) = f(x)$, $B(x) = h(x)$, и $C(x) = g(x)$.

Вычисляем предел числителя:
Мы умножаем пределы функций $f(x)$ и $h(x)$:

$$\lim_{x \to \infty} f(x) \cdot \lim_{x \to \infty} h(x) = (-2) \cdot 6 = -12$$

Вычисляем предел знаменателя:
Из условия задачи:

$$\lim_{x \to \infty} g(x) = -10$$

Теперь подставляем все в исходное выражение:

$$\frac{-12}{-10} = \frac{12}{10} = 1,2$$

Ответ:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x) \cdot h(x)}{g(x)} = 1,2$$

г) Вычисление предела:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{3g(x)}{5h(x)}$$

Понимание предела частного:
Это выражение — частное двух функций, где числитель содержит произведение 3 и $g(x)$, а знаменатель — произведение 5 и $h(x)$. Применим свойство предела для частного:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{3g(x)}{5h(x)} = \frac{3 \cdot \lim_{x \to \infty} g(x)}{5 \cdot \lim_{x \to \infty} h(x)}$$

Вычисляем предел числителя:
Числитель:

$$3 \cdot \lim_{x \to \infty} g(x) = 3 \cdot (-10) = -30$$

Вычисляем предел знаменателя:
Знаменатель:

$$5 \cdot \lim_{x \to \infty} h(x) = 5 \cdot 6 = 30$$

Теперь подставляем все в исходное выражение:

$$\frac{-30}{30} = -1$$

Ответ:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{3g(x)}{5h(x)} = -1$$

Итоговые ответы:

a) $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = 0,2$

б) $\lim_{x \to \infty} \frac{3f(x) + h(x)}{2g(x) + 15} = 0$

в) $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x) \cdot h(x)}{g(x)} = 1,2$

г) $\lim_{x \to \infty} \frac{3g(x)}{5h(x)} = -1$