ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 39.40 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите приращение функции $y = 4x^2 — x$ при переходе от точки $x$ к точке $x + \Delta x$:

а) $x = 0$, $\Delta x = 0,5$;

б) $x = 1$, $\Delta x = -0,1$;

в) $x = 0$, $\Delta x = -0,5$;

г) $x = 1$, $\Delta x = 0,1$.

Пусть $f(x) = 4x^2 — x$;

а) $x = 0$ и $\Delta x = 0,5$:

$$\Delta y = f(0,5) — f(0) = 4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 — \frac{1}{2} — 4 \cdot 0^2 + 0 = 4 \cdot \frac{1}{4} — \frac{1}{2} = 1 — \frac{1}{2} = 0,5;$$

б) $x = 1$ и $\Delta x = -0,1$:

$$\Delta y = f(1 — 0,1) — f(1) = f(0,9) — f(1) = 4 \cdot (0,9)^2 — 0,9 — 4 \cdot 1^2 + 1 =$$ $$= 4 \cdot 0,81 — 0,9 — 4 + 1 = 3,24 — 3,9 = -0,66;$$

в) $x = 0$ и $\Delta x = -0,5$:

$$\Delta y = f(-0,5) — f(0) = 4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2} — 4 \cdot 0^2 + 0 = 4 \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2} = 1,5;$$

г) $x = 1$ и $\Delta x = 0,1$:

$$\Delta y = f(1 + 0,1) — f(1) = f(1,1) — f(1) = 4 \cdot 1,1^2 — 1,1 — 4 \cdot 1^2 + 1 =$$ $$= 4 \cdot 1,21 — 1,1 — 4 + 1 = 4,84 — 4,1 = 0,74$$

Задача состоит в том, чтобы найти приращение функции $y = 4x^2 — x$ при переходе от точки $x$ к точке $x + \Delta x$.

Для этого используем формулу для приращения функции:

$$\Delta y = f(x + \Delta x) — f(x)$$

Где:

$f(x) = 4x^2 — x$

$x$ — начальная точка

$\Delta x$ — изменение аргумента

Часть а) $x = 0$ и $\Delta x = 0,5$:

Мы начинаем с нахождения значения функции в точке $x = 0$ и в точке $x + \Delta x = 0 + 0,5 = 0,5$.

Для $f(0)$:

$$f(0) = 4 \cdot 0^2 — 0 = 0$$

Для $f(0,5)$:

$$f(0,5) = 4 \cdot \left(0,5\right)^2 — 0,5 = 4 \cdot \frac{1}{4} — 0,5 = 1 — 0,5 = 0,5$$

Теперь находим приращение функции:

$$\Delta y = f(0,5) — f(0) = 0,5 — 0 = 0,5$$

Ответ: приращение функции при переходе от $x = 0$ к $x + \Delta x = 0,5$ равно $0,5$.

Часть б) $x = 1$ и $\Delta x = -0,1$:

Сначала находим значение функции в точке $x = 1$ и в точке $x + \Delta x = 1 — 0,1 = 0,9$.

Для $f(1)$:

$$f(1) = 4 \cdot 1^2 — 1 = 4 — 1 = 3$$

Для $f(0,9)$:

$$f(0,9) = 4 \cdot (0,9)^2 — 0,9 = 4 \cdot 0,81 — 0,9 = 3,24 — 0,9 = 2,34$$

Теперь находим приращение функции:

$$\Delta y = f(0,9) — f(1) = 2,34 — 3 = -0,66$$

Ответ: приращение функции при переходе от $x = 1$ к $x + \Delta x = 0,9$ равно $-0,66$.

Часть в) $x = 0$ и $\Delta x = -0,5$:

Сначала находим значение функции в точке $x = 0$ и в точке $x + \Delta x = 0 — 0,5 = -0,5$.

Для $f(0)$:

$$f(0) = 4 \cdot 0^2 — 0 = 0$$

Для $f(-0,5)$:

$$f(-0,5) = 4 \cdot \left(-0,5\right)^2 — (-0,5) = 4 \cdot \frac{1}{4} + 0,5 = 1 + 0,5 = 1,5$$

Теперь находим приращение функции:

$$\Delta y = f(-0,5) — f(0) = 1,5 — 0 = 1,5$$

Ответ: приращение функции при переходе от $x = 0$ к $x + \Delta x = -0,5$ равно $1,5$.

Часть г) $x = 1$ и $\Delta x = 0,1$:

Сначала находим значение функции в точке $x = 1$ и в точке $x + \Delta x = 1 + 0,1 = 1,1$.

Для $f(1)$:

$$f(1) = 4 \cdot 1^2 — 1 = 4 — 1 = 3$$

Для $f(1,1)$:

$$f(1,1) = 4 \cdot (1,1)^2 — 1,1 = 4 \cdot 1,21 — 1,1 = 4,84 — 1,1 = 3,74$$

Теперь находим приращение функции:

$$\Delta y = f(1,1) — f(1) = 3,74 — 3 = 0,74$$

Ответ: приращение функции при переходе от $x = 1$ к $x + \Delta x = 1,1$ равно $0,74$.

Итоги:

а) $\Delta y = 0,5$

б) $\Delta y = -0,66$

в) $\Delta y = 1,5$

г) $\Delta y = 0,74$