ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 39.42 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите, чему равно отношение приращения функции $y = x^2 — 4x + 1$ к приращению аргумента при переходе от точки $x_0 = 2$ к точке:

а) $x = 2{,}1$;
б) $x = 1{,}9$;
в) $x = 2{,}5$;
г) $x = 1{,}5$.

Пусть $f(x) = x^2 — 4x + 1$;

а) $x_0 = 2$ и $x = 2,1$:

$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(2,1) — f(2)}{2,1 — 2} = \frac{(2,1)^2 — 4 \cdot 2,1 + 1 — 2^2 + 4 \cdot 2 — 1}{0,1} =$$ $$= \frac{4,41 — 8,4 + 1 — 4 + 8 — 1}{0,1} = \frac{0,01}{0,1} = 0,1;$$

б) $x_0 = 2$ и $x = 1,9$:

$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(1,9) — f(2)}{1,9 — 2} = \frac{(1,9)^2 — 4 \cdot 1,9 + 1 — 2^2 + 4 \cdot 2 — 1}{0,1} =$$ $$= \frac{3,61 — 7,6 + 1 — 4 + 8 — 1}{0,1} = \frac{-0,01}{0,1} = -0,1;$$

в) $x_0 = 2$ и $x = 2,5$:

$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(2,5) — f(2)}{2,5 — 2} = \frac{(2,5)^2 — 4 \cdot 2,5 + 1 — 2^2 + 4 \cdot 2 — 1}{0,5} =$$ $$= \frac{6,25 — 10 + 1 — 4 + 8 — 1}{0,5} = \frac{0,25}{0,5} = 0,5;$$

г) $x_0 = 2$ и $x = 1,5$:

$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(1,5) — f(2)}{1,5 — 2} = \frac{(1,5)^2 — 4 \cdot 1,5 + 1 — 2^2 + 4 \cdot 2 — 1}{0,5} =$$ $$= \frac{2,25 — 6 + 1 — 4 + 8 — 1}{0,5} = \frac{-0,25}{0,5} = -0,5$$

Функция:

$$f(x) = x^2 — 4x + 1$$

Цель — вычислить разностное отношение в форме:

$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x) — f(x_0)}{x — x_0}$$

а) $x_0 = 2$, $x = 2{,}1$

Шаг 1: Вычислим $f(x) = f(2{,}1)$

Формула:

$$f(x) = x^2 — 4x + 1$$

Подставляем:

$$f(2{,}1) = (2{,}1)^2 — 4 \cdot 2{,}1 + 1$$

Разбиваем по шагам:

• $(2{,}1)^2 = 2{,}1 \cdot 2{,}1 = 4{,}41$
• $4 \cdot 2{,}1 = 8{,}4$

Теперь:

$$f(2{,}1) = 4{,}41 — 8{,}4 + 1$$

Первое вычитание:

$$4{,}41 — 8{,}4 = -3{,}99$$

Затем:

$$-3{,}99 + 1 = -2{,}99$$

Ответ: $f(2{,}1) = -2{,}99$

Шаг 2: Найдём $f(2)$

$$f(2) = 2^2 — 4 \cdot 2 + 1 = 4 — 8 + 1$$ $$4 — 8 = -4,\quad -4 + 1 = -3$$

Ответ: $f(2) = -3$

Шаг 3: Разностное отношение

$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(2{,}1) — f(2)}{2{,}1 — 2} = \frac{-2{,}99 — (-3)}{0{,}1}$$

Пояснение: минус перед скобкой превращает знак:

$$-2{,}99 — (-3) = -2{,}99 + 3 = 0{,}01$$

Теперь делим:

$$\frac{0{,}01}{0{,}1} = 0{,}1$$

Окончательный ответ (а):

$$\boxed{0{,}1}$$

б) $x_0 = 2$, $x = 1{,}9$

Шаг 1: Вычислим $f(1{,}9)$

$$f(1{,}9) = (1{,}9)^2 — 4 \cdot 1{,}9 + 1$$

• $(1{,}9)^2 = 1{,}9 \cdot 1{,}9 = 3{,}61$
• $4 \cdot 1{,}9 = 7{,}6$

$$f(1{,}9) = 3{,}61 — 7{,}6 + 1$$

Первое вычитание:

$$3{,}61 — 7{,}6 = -3{,}99$$

Далее:

$$-3{,}99 + 1 = -2{,}99$$

Ответ: $f(1{,}9) = -2{,}99$

Шаг 2: $f(2) = -3$ (уже найдено)

Шаг 3: Разностное отношение

$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(1{,}9) — f(2)}{1{,}9 — 2} = \frac{-2{,}99 — (-3)}{-0{,}1}$$

Пояснение:

$$-2{,}99 — (-3) = -2{,}99 + 3 = 0{,}01$$

Теперь делим:

$$\frac{0{,}01}{-0{,}1} = -0{,}1$$

Окончательный ответ (б):

$$\boxed{-0{,}1}$$

в) $x_0 = 2$, $x = 2{,}5$

Шаг 1: Вычислим $f(2{,}5)$

$$f(2{,}5) = (2{,}5)^2 — 4 \cdot 2{,}5 + 1$$

• $(2{,}5)^2 = 2{,}5 \cdot 2{,}5 = 6{,}25$
• $4 \cdot 2{,}5 = 10$

$$f(2{,}5) = 6{,}25 — 10 + 1$$

Первое вычитание:

$$6{,}25 — 10 = -3{,}75$$

Затем:

$$-3{,}75 + 1 = -2{,}75$$

Ответ: $f(2{,}5) = -2{,}75$

Шаг 2: $f(2) = -3$

Шаг 3: Разностное отношение

$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(2{,}5) — f(2)}{2{,}5 — 2} = \frac{-2{,}75 — (-3)}{0{,}5}$$

Пояснение:

$$-2{,}75 — (-3) = -2{,}75 + 3 = 0{,}25$$

Теперь делим:

$$\frac{0{,}25}{0{,}5} = 0{,}5$$

Окончательный ответ (в):

$$\boxed{0{,}5}$$

г) $x_0 = 2$, $x = 1{,}5$

Шаг 1: Вычислим $f(1{,}5)$

$$f(1{,}5) = (1{,}5)^2 — 4 \cdot 1{,}5 + 1$$

• $(1{,}5)^2 = 1{,}5 \cdot 1{,}5 = 2{,}25$
• $4 \cdot 1{,}5 = 6$

$$f(1{,}5) = 2{,}25 — 6 + 1$$ $$2{,}25 — 6 = -3{,}75,\quad -3{,}75 + 1 = -2{,}75$$

Ответ: $f(1{,}5) = -2{,}75$

Шаг 2: $f(2) = -3$

Шаг 3: Разностное отношение

$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(1{,}5) — f(2)}{1{,}5 — 2} = \frac{-2{,}75 — (-3)}{-0{,}5}$$

Пояснение:

$$-2{,}75 + 3 = 0{,}25$$

Теперь делим:

$$\frac{0{,}25}{-0{,}5} = -0{,}5$$

Окончательный ответ (г):

$$\boxed{-0{,}5}$$