ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 39.44 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Для функции $y = f(x)$ найдите $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ при переходе от точки $x$ к точке $x + \Delta x$, если:

а) $f(x) = kx + b$;
б) $f(x) = ax^2$;
в) $f(x) = \frac{1}{x}$;
г) $f(x) = \sqrt{x}$.

а) $f(x) = kx + b$:

$$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(x + \Delta x) — f(x)}{(x + \Delta x) — x} = \frac{k(x + \Delta x) + b — kx — b}{x + \Delta x — x} = \frac{kx + k\Delta x — kx}{\Delta x} =$$ $$= \frac{k\Delta x}{\Delta x} = k;$$

б) $f(x) = ax^2$:

$$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(x + \Delta x) — f(x)}{(x + \Delta x) — x} = \frac{a(x + \Delta x)^2 — ax^2}{x + \Delta x — x} =$$ $$= \frac{ax^2 + 2ax\Delta x + a(\Delta x)^2 — ax^2}{\Delta x} = \frac{2ax\Delta x + a(\Delta x)^2}{\Delta x} = 2ax + a\Delta x;$$

в) $f(x) = \frac{1}{x}$:

$$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(x + \Delta x) — f(x)}{(x + \Delta x) — x} = \frac{\frac{1}{x + \Delta x} — \frac{1}{x}}{x + \Delta x — x} = \frac{x — x — \Delta x}{x(x + \Delta x)} : \Delta x =$$ $$= -\frac{\Delta x}{x(x + \Delta x)} : \Delta x = -\frac{1}{x(x + \Delta x)};$$

г) $f(x) = \sqrt{x}$:

$$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(x + \Delta x) — f(x)}{(x + \Delta x) — x} = \frac{\sqrt{x + \Delta x} — \sqrt{x}}{x + \Delta x — x} = \frac{\sqrt{x + \Delta x} — \sqrt{x}}{\Delta x} =$$ $$= \frac{\sqrt{x + \Delta x} — \sqrt{x}}{\Delta x} \cdot \frac{\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x}}{\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x}} = \frac{\Delta x}{\Delta x (\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x})} = \frac{1}{\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x}}$$

а) $f(x) = kx + b$

Шаг 1: Выразим приращение функции:

$$\Delta f = f(x + \Delta x) — f(x)$$

Шаг 2: Подставим функцию:

$$f(x + \Delta x) = k(x + \Delta x) + b$$ $$f(x) = kx + b$$

Шаг 3: Найдём разность:

$$\Delta f = [k(x + \Delta x) + b] — (kx + b)$$

Шаг 4: Раскроем скобки:

$$\Delta f = kx + k\Delta x + b — kx — b$$

Шаг 5: Упростим:

$$\Delta f = k\Delta x$$

Шаг 6: Теперь найдём разностное отношение:

$$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{k\Delta x}{\Delta x} = k$$

Ответ:

$$\frac{\Delta f}{\Delta x} = k$$

б) $f(x) = ax^2$

Шаг 1: Найдём приращение функции:

$$\Delta f = f(x + \Delta x) — f(x)$$

Шаг 2: Подставим функцию:

$$f(x + \Delta x) = a(x + \Delta x)^2$$ $$f(x) = ax^2$$

Шаг 3: Раскроем квадрат:

$$(x + \Delta x)^2 = x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2$$ $$f(x + \Delta x) = a(x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2) = ax^2 + 2ax\Delta x + a(\Delta x)^2$$

Шаг 4: Вычтем $f(x)$:

$$\Delta f = [ax^2 + 2ax\Delta x + a(\Delta x)^2] — ax^2$$ $$\Delta f = 2ax\Delta x + a(\Delta x)^2$$

Шаг 5: Разностное отношение:

$$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{2ax\Delta x + a(\Delta x)^2}{\Delta x}$$

Шаг 6: Разделим каждый член:

$$= \frac{2ax\Delta x}{\Delta x} + \frac{a(\Delta x)^2}{\Delta x} = 2ax + a\Delta x$$

Ответ:

$$\frac{\Delta f}{\Delta x} = 2ax + a\Delta x$$

в) $f(x) = \frac{1}{x}$

Шаг 1: Найдём приращение:

$$\Delta f = f(x + \Delta x) — f(x) = \frac{1}{x + \Delta x} — \frac{1}{x}$$

Шаг 2: Найдём общий знаменатель:

$$\frac{1}{x + \Delta x} — \frac{1}{x} = \frac{x — (x + \Delta x)}{x(x + \Delta x)} = \frac{-\Delta x}{x(x + \Delta x)}$$

Шаг 3: Разностное отношение:

$$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{-\Delta x}{x(x + \Delta x)} \div \Delta x = \frac{-\Delta x}{x(x + \Delta x)} \cdot \frac{1}{\Delta x}$$ $$= -\frac{1}{x(x + \Delta x)}$$

Ответ:

$$\frac{\Delta f}{\Delta x} = -\frac{1}{x(x + \Delta x)}$$

г) $f(x) = \sqrt{x}$

Шаг 1: Найдём приращение:

$$\Delta f = f(x + \Delta x) — f(x) = \sqrt{x + \Delta x} — \sqrt{x}$$

Шаг 2: Разностное отношение:

$$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{\sqrt{x + \Delta x} — \sqrt{x}}{\Delta x}$$

Шаг 3: Рационализируем числитель — умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение:

$$\frac{\sqrt{x + \Delta x} — \sqrt{x}}{\Delta x} \cdot \frac{\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x}}{\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x}}$$

Шаг 4: Используем формулу разности квадратов:

$$\frac{(\sqrt{x + \Delta x} — \sqrt{x})(\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x})}{\Delta x(\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x})} = \frac{(x + \Delta x) — x}{\Delta x(\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x})}$$ $$= \frac{\Delta x}{\Delta x(\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x})}$$

Шаг 5: Сократим:

$$= \frac{1}{\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x}}$$

Ответ:

$$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{1}{\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x}}$$