ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 39.45 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Для функции $y = f(x)$ найдите $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x}$ при переходе от точки $x$ к точке $x + \Delta x$, если:

a) $f(x) = kx + b$;
б) $f(x) = ax^2$;
в) $f(x) = \frac{1}{x}$;
г) $f(x) = \sqrt{x}$.

a) $f(x) = kx + b$:

$$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{k(x + \Delta x) + b — kx — b}{x + \Delta x — x} = \frac{kx + k\Delta x — kx}{\Delta x} = \frac{k\Delta x}{\Delta x} = k;$$

$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} k = k;$$

б) $f(x) = ax^2$:

$$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{a(x + \Delta x)^2 — ax^2}{x + \Delta x — x} = \frac{ax^2 + 2ax\Delta x + a(\Delta x)^2 — ax^2}{\Delta x} =$$ $$= \frac{2ax\Delta x + a(\Delta x)^2}{\Delta x} = 2ax + a\Delta x;$$

$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (2ax + a\Delta x) = 2ax + a \cdot 0 = 2ax;$$

в) $f(x) = \frac{1}{x}$:

$$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{\frac{1}{x + \Delta x} — \frac{1}{x}}{x + \Delta x — x} = \frac{x — x — \Delta x}{x(x + \Delta x)} : \Delta x = -\frac{\Delta x}{x(x + \Delta x)} : \Delta x = -\frac{1}{x(x + \Delta x)};$$

$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-1}{x(x + \Delta x)} = -\frac{1}{x \cdot (x + 0)} = -\frac{1}{x^2};$$

г) $f(x) = \sqrt{x}$:

$$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{\sqrt{x + \Delta x} — \sqrt{x}}{x + \Delta x — x} = \frac{\sqrt{x + \Delta x} — \sqrt{x}}{\Delta x} = \frac{x + \Delta x — x}{\Delta x (\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x})} =$$ $$= \frac{\Delta x}{\Delta x (\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x})} = \frac{1}{\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x}};$$

$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x + 0} + \sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}};$$

Нужно найти

$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x}$$

при переходе от точки $x$ к точке $x + \Delta x$, для разных функций $f(x)$.

a) $f(x) = kx + b$

Находим приращение функции $\Delta f$:

$$\Delta f = f(x + \Delta x) — f(x)$$

Подставляем:

$$f(x + \Delta x) = k(x + \Delta x) + b = kx + k\Delta x + b$$ $$f(x) = kx + b$$ $$\Delta f = (kx + k\Delta x + b) — (kx + b) = kx + k\Delta x + b — kx — b = k\Delta x$$

Теперь найдём среднее изменение функции:

$$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{k\Delta x}{\Delta x}$$

Сокращаем $\Delta x$ (если $\Delta x \ne 0$):

$$\frac{\Delta f}{\Delta x} = k$$

Переходим к пределу:

$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} k = k$$

б) $f(x) = ax^2$

Находим приращение функции:

$$\Delta f = f(x + \Delta x) — f(x)$$ $$f(x + \Delta x) = a(x + \Delta x)^2 = a(x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2) = ax^2 + 2ax\Delta x + a(\Delta x)^2$$ $$f(x) = ax^2$$ $$\Delta f = (ax^2 + 2ax\Delta x + a(\Delta x)^2) — ax^2 = 2ax\Delta x + a(\Delta x)^2$$

Теперь найдём отношение:

$$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{2ax\Delta x + a(\Delta x)^2}{\Delta x}$$

Разделим каждое слагаемое числителя на $\Delta x$:

$$\frac{\Delta f}{\Delta x} = 2ax + a\Delta x$$

Переходим к пределу:

$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (2ax + a\Delta x) = 2ax + a \cdot 0 = 2ax$$

в) $f(x) = \frac{1}{x}$

Находим приращение функции:

$$\Delta f = f(x + \Delta x) — f(x) = \frac{1}{x + \Delta x} — \frac{1}{x}$$

Найдем общий знаменатель:

$$\Delta f = \frac{x — (x + \Delta x)}{x(x + \Delta x)} = \frac{x — x — \Delta x}{x(x + \Delta x)} = \frac{-\Delta x}{x(x + \Delta x)}$$

Теперь:

$$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{-\Delta x}{x(x + \Delta x)} \cdot \frac{1}{\Delta x} = \frac{-1}{x(x + \Delta x)}$$

Переходим к пределу:

$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \left( -\frac{1}{x(x + \Delta x)} \right) = -\frac{1}{x \cdot x} = -\frac{1}{x^2}$$

г) $f(x) = \sqrt{x}$

Находим приращение функции:

$$\Delta f = \sqrt{x + \Delta x} — \sqrt{x}$$

Теперь:

$$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{\sqrt{x + \Delta x} — \sqrt{x}}{\Delta x}$$

Чтобы упростить, умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение:

$$\frac{\sqrt{x + \Delta x} — \sqrt{x}}{\Delta x} \cdot \frac{\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x}}{\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x}} =$$ $$= \frac{(x + \Delta x) — x}{\Delta x(\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x})} = \frac{\Delta x}{\Delta x(\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x})}$$

Сократим $\Delta x$:

$$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{1}{\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x}}$$

Переходим к пределу:

$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Итоговые ответы:

a) $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = k$

б) $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = 2ax$

в) $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = -\frac{1}{x^2}$

г) $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$