ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 39.8 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Постройте график какой-нибудь функции у = h(x), х € R обладающей указанными свойствами:

а) $\lim_{x \to \infty} h(x) = 4$ и функция возрастает

б) $\lim_{x \to -\infty} h(x) = 5$ и функция убывает

в) $\lim_{x \to -\infty} h(x) = -2$ и функция возрастает

г) $\lim_{x \to \infty} h(x) = -3$ и функция убывает

а) $\lim_{x \to \infty} h(x) = 4$ и функция возрастает:

б) $\lim_{x \to -\infty} h(x) = 5$ и функция убывает:

в) $\lim_{x \to -\infty} h(x) = -2$ и функция возрастает:

г) $\lim_{x \to \infty} h(x) = -3$ и функция убывает:

а)

Функция: $\lim_{x \to \infty} h(x) = 4$ и функция возрастает.

Мы ищем функцию, которая:

• Стремится к 4, когда $x \to \infty$.
• Всегда возрастает.

Для этого можно взять функцию, которая на больших значениях $x$ приближается к 4 и возрастает на всей числовой оси. Хорошим выбором будет функция:

$$h(x) = 4 — \frac{1}{x + 1}$$

Почему эта функция подходит?

• Когда $x \to \infty$, $\frac{1}{x + 1} \to 0$, и $h(x) \to 4$.
• Функция возрастает, так как производная $\frac{d}{dx}\left( 4 — \frac{1}{x + 1} \right) = \frac{1}{(x + 1)^2}$ всегда положительна для всех $x$.

Шаги для построения графика:

1. Для различных значений $x$ (например, от -10 до 10) вычисляйте $h(x)$.
2. Наблюдайте, как функция возрастает, а на больших значениях $x$ она приближается к 4.
3. График будет постепенно возрастать, но никогда не пересечет горизонтальную прямую $y = 4$.

б)

Функция: $\lim_{x \to -\infty} h(x) = 5$ и функция убывает.

Мы ищем функцию, которая:

• Стремится к 5, когда $x \to -\infty$.
• Всегда убывает.

Подходящей функцией будет:

$$h(x) = 5 + \frac{1}{x + 1}$$

Почему эта функция подходит?

• Когда $x \to -\infty$, $\frac{1}{x + 1} \to 0$, и $h(x) \to 5$.
• Функция убывает, так как производная $\frac{d}{dx}\left( 5 + \frac{1}{x + 1} \right) = -\frac{1}{(x + 1)^2}$ всегда отрицательна для всех $x$.

Шаги для построения графика:

1. Для различных значений $x$ (например, от -10 до 10) вычисляйте $h(x)$.
2. Наблюдайте, как функция убывает, а на больших отрицательных значениях $x$ приближается к 5.
3. График будет плавно убывать, но никогда не пересечет горизонтальную прямую $y = 5$.

в)

Функция: $\lim_{x \to -\infty} h(x) = -2$ и функция возрастает.

Для этого условия подойдет функция:

$$h(x) = -2 + \frac{1}{(x + 1)^2 + 1}$$

Почему эта функция подходит?

• При $x \to -\infty$, $\frac{1}{(x + 1)^2 + 1} \to 0$, и $h(x) \to -2$.
• Функция возрастает, так как производная функции всегда положительна (так как $(x + 1)^2 + 1 > 0$).

Шаги для построения графика:

1. Для различных значений $x$ (например, от -10 до 10) вычисляйте $h(x)$.
2. Наблюдайте, как функция возрастает и приближается к -2, когда $x$ стремится к минус бесконечности.
3. График будет начинаться ниже -2, постепенно увеличиваться и приближаться к -2.

г)

Функция: $\lim_{x \to \infty} h(x) = -3$ и функция убывает.

Для этого условия можно выбрать такую функцию:

$$h(x) = -3 + \frac{1}{x^2 + 1}$$

Почему эта функция подходит?

• При $x \to \infty$, $\frac{1}{x^2 + 1} \to 0$, и $h(x) \to -3$.
• Функция убывает, так как производная $\frac{d}{dx}\left( -3 + \frac{1}{x^2 + 1} \right) = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}$ отрицательна для всех $x > 0$.

Шаги для построения графика:

1. Для различных значений $x$ (например, от -10 до 10) вычисляйте $h(x)$.
2. Наблюдайте, как функция убывает, и при $x \to \infty$ приближается к -3.
3. График будет начинаться выше -3, затем будет снижаться и приближаться к -3.