ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 39.9 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Постройте график какой-нибудь функции у = h(x), х € R обладающей указанными свойствами:

а) $\lim_{x \to -\infty} h(x) = 1$ и функция ограничена сверху

б) $\lim_{x \to \infty} h(x) = 1$ и функция ограничена снизу

в) $\lim_{x \to \infty} h(x) = 1$ и функция ограничена сверху

г) $\lim_{x \to -\infty} h(x) = 1$ и функция ограничена снизу

а) $\lim_{x \to -\infty} h(x) = 1$ и функция ограничена сверху:

б) $\lim_{x \to \infty} h(x) = 1$ и функция ограничена снизу:

в) $\lim_{x \to \infty} h(x) = 1$ и функция ограничена сверху:

г) $\lim_{x \to -\infty} h(x) = 1$ и функция ограничена снизу:

а)

Функция: $\lim_{x \to -\infty} h(x) = 1$ и функция ограничена сверху.

Нам нужно найти функцию, которая:

• Стремится к 1, когда $x \to -\infty$.
• Ограничена сверху, то есть у неё есть верхняя граница (она не растет бесконечно).

Предположим, подходящей функцией будет:

$$h(x) = 1 + \frac{1}{x^2 + 1}$$

Почему эта функция подходит?

• Когда $x \to -\infty$, $\frac{1}{x^2 + 1} \to 0$, и функция $h(x) \to 1$.
• Функция ограничена сверху, так как для всех $x$ выполняется $h(x) \leq 2$. Это видно, потому что $\frac{1}{x^2 + 1} \leq 1$, и таким образом, $h(x) \leq 2$.

Шаги построения графика:

1. Вычисляйте значения функции для разных значений $x$, например, от $-10$ до $10$.
2. Наблюдайте, как функция приближается к 1 при $x \to -\infty$.
3. График будет иметь форму гиперболы, которая снижается, приближаясь к 1, но не пересекает её. Функция ограничена сверху значением 2.

б)

Функция: $\lim_{x \to \infty} h(x) = 1$ и функция ограничена снизу.

Нам нужна функция, которая:

• Стремится к 1, когда $x \to \infty$.
• Ограничена снизу, то есть у неё есть нижняя граница (она не убывает бесконечно).

Предположим, подходящей функцией будет:

$$h(x) = 1 — \frac{1}{x^2 + 1}$$

Почему эта функция подходит?

• Когда $x \to \infty$, $\frac{1}{x^2 + 1} \to 0$, и функция $h(x) \to 1$.
• Функция ограничена снизу, так как для всех $x$ выполняется $h(x) \geq 0$. Это видно, потому что $\frac{1}{x^2 + 1} \leq 1$, и таким образом, $h(x) \geq 0$.

Шаги построения графика:

1. Вычисляйте значения функции для разных значений $x$, например, от $0$ до $10$.
2. Наблюдайте, как функция приближается к 1 при $x \to \infty$.
3. График будет представлять собой кривую, которая начинает с положительных значений и постепенно приближается к 1, но не пересекает её, оставаясь выше 0.

в)

Функция: $\lim_{x \to \infty} h(x) = 1$ и функция ограничена сверху.

Это условие аналогично условию (а), так что функция будет такой же:

$$h(x) = 1 + \frac{1}{x^2 + 1}$$

Почему эта функция подходит?

• Когда $x \to \infty$, $\frac{1}{x^2 + 1} \to 0$, и функция $h(x) \to 1$.
• Функция ограничена сверху значением 2, как объяснялось ранее.

Шаги построения графика:

1. Для значений $x$ от $0$ до $10$ вычисляйте значения $h(x)$.
2. Наблюдайте, как функция приближается к 1, но всегда остается ниже 2.
3. График будет асимптотически стремиться к 1, но не пересечет её, ограничиваясь сверху значением 2.

г)

Функция: $\lim_{x \to -\infty} h(x) = 1$ и функция ограничена снизу.

Нам нужно выбрать функцию, которая:

• Стремится к 1, когда $x \to -\infty$.
• Ограничена снизу, то есть её значения не убывают до минус бесконечности.

Предположим, подходящей функцией будет:

$$h(x) = 1 — \frac{1}{(x + 3)^2 + 1}$$

Почему эта функция подходит?

• Когда $x \to -\infty$, $\frac{1}{(x + 3)^2 + 1} \to 0$, и $h(x) \to 1$.
• Функция ограничена снизу значением 0, так как $\frac{1}{(x + 3)^2 + 1} \geq 0$, и таким образом, $h(x) \geq 0$.

Шаги построения графика:

1. Для значений $x$ от $-10$ до $0$ вычисляйте $h(x)$.
2. Наблюдайте, как функция приближается к 1 при $x \to -\infty$.
3. График будет плавно возрастать, приближаясь к 1, но не пересекает её, оставаясь выше 0.

Общие шаги для построения графика:

1. Выберите подходящую функцию из предложенных.
2. Определите диапазон значений $x$, например, от $-10$ до $10$ или от $-100$ до $100$, в зависимости от того, как далеко вы хотите видеть поведение функции.
3. Вычисляйте значения функции для различных $x$.
4. Построите график на основе вычисленных значений, используя оси $x$ и $y$.
5. Наблюдайте, как функция ведет себя на больших и малых значениях $x$, стремясь к пределам, и как она ограничена сверху или снизу.