ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 4.10 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Доказать неравенство $\frac{a}{b} \leq \frac{a+n}{b+n}$, если $0 < a < b$ и $n \geq 0$.

Доказать неравенство $\frac{a}{b} \leq \frac{a+n}{b+n}$, если $0 < a < b$ и $n \geq 0$.

1) Определим знак разности чисел:

$$d = \frac{a}{b} — \frac{a+n}{b+n} = \frac{a(b+n) — b(a+n)}{b(b+n)} = \frac{ab + an — ba — bn}{b^2 + bn};$$ $$d = \frac{an — bn}{b^2 + bn} = \frac{n(a-b)}{b^2 + bn};$$

2) По условию $0 < a < b$ и $n \geq 0$, значит:

$$b^2 > 0, \quad bn \geq 0 \quad \Rightarrow \quad b^2 + bn > 0;$$ $$a < b \quad \Rightarrow \quad a — b < 0;$$ $$d \leq 0;$$

3) Следовательно $\frac{a}{b} \leq \frac{a+n}{b+n}$, что и требовалось доказать.

Доказательство неравенства $\frac{a}{b} \leq \frac{a+n}{b+n}$, если $0 < a < b$ и $n \geq 0$.

Шаг 1: Определим знак разности

Для начала рассмотрим разницу между двумя выражениями:

$$d = \frac{a}{b} — \frac{a+n}{b+n}.$$

Чтобы доказать, что $\frac{a}{b} \leq \frac{a+n}{b+n}$, нам нужно показать, что разность $d$ не больше нуля, то есть $d \leq 0$.

Шаг 2: Приведем разность к общему знаменателю

Для того чтобы выразить разность $d$ в виде одной дроби, приведем её к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей $\frac{a}{b}$ и $\frac{a+n}{b+n}$ будет равен $b(b+n)$, так как это произведение знаменателей этих дробей.

Преобразуем разность:

$$d = \frac{a}{b} — \frac{a+n}{b+n} = \frac{a(b+n)}{b(b+n)} — \frac{(a+n)b}{b(b+n)}.$$

Теперь у нас одна дробь:

$$d = \frac{a(b+n) — b(a+n)}{b(b+n)}.$$

Шаг 3: Раскрытие скобок

Раскроем скобки в числителе:

$$a(b+n) — b(a+n) = ab + an — ba — bn.$$

Заметим, что $ab — ba = 0 \,$ (это одно и то же выражение), поэтому числитель упрощается до:

$$an — bn.$$

Таким образом, разность $d$ принимает вид:

$$d = \frac{an — bn}{b(b+n)}.$$

Шаг 4: Вынесение общего множителя

Теперь вынесем общий множитель $n$ из числителя:

$$d = \frac{n(a-b)}{b(b+n)}.$$

Шаг 2: Анализ знаков

Теперь нужно рассмотреть знак числителя и знаменателя.

• Числитель: $n(a-b)$.
  • По условию задачи $0 < a < b$, следовательно, $a — b < 0$.
  • Также по условию $n \geq 0$, то есть $n \geq 0$. Таким образом, числитель $n(a-b)$ всегда меньше или равен нулю, так как произведение положительного числа и отрицательного числа всегда меньше нуля. То есть $n(a-b) \leq 0$.
• Знаменатель: $b(b+n)$.
  • Так как $b > 0$ и $n \geq 0$, то знаменатель всегда положительный, так как произведение двух положительных чисел всегда положительно. Таким образом, $b(b+n) > 0$.

Шаг 3: Заключение по знаку

Так как числитель $n(a-b) \leq 0$ (не больше нуля) и знаменатель $b(b+n) > 0$ (положительный), то весь дробь $d$ будет не больше нуля:

$$d \leq 0.$$

Шаг 4: Итоговое неравенство

Мы показали, что разность $d$ не больше нуля, то есть:

$$\frac{a}{b} — \frac{a+n}{b+n} \leq 0,$$

что эквивалентно:

$$\frac{a}{b} \leq \frac{a+n}{b+n}.$$

Таким образом, неравенство доказано. $\boxed{{\displaystyle }}$