ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 4.13 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Докажите, что в интервале $(8;9)$ нет ни наименьшего, ни наибольшего числа;

б) Докажите, что среди чисел, удовлетворяющих неравенству $x^2<5$, нет ни наименьшего, ни наибольшего числа.

а) Доказать, что в интервале $(8;9)$ нет ни наименьшего, ни наибольшего числа;

Представим данный интервал в виде неравенства: $8<a<9$;

Допустим, что существует наименьшее или наибольшее число $a$, тогда:

$a-8=\frac{n}{m}\text{или}9-a=\frac{n}{m};$

$\frac{n}{m}$ — наименьшее положительное число $(n>0,m>0,n<m)$;

Однако всегда можно взять меньшее положительное число, например:

$nm<nm+n\Rightarrow nm<n(m+1)\Rightarrow \frac{n}{m+1}<\frac{n}{m};$

Следовательно, такого числа не существует, а значит не существует и наименьшего или наибольшего числа $a$, что и требовалось доказать.

б) Доказать, что среди чисел, удовлетворяющих неравенству $x^2<5$, нет ни наименьшего, ни наибольшего числа;

Решим данное неравенство:

$(x^2-5)<0\Rightarrow (x+\sqrt{5})(x-\sqrt{5})<0\Rightarrow -\sqrt{5}<x<\sqrt{5};$

Допустим, что существует наименьшее или наибольшее число $x$, тогда:

$x-(-\sqrt{5})=\frac{n}{m}\text{или}\sqrt{5}-x=\frac{n}{m};$

$\frac{n}{m}$ — наименьшее положительное число $(n>0,m>0,n<m)$;

Однако всегда можно взять меньшее положительное число, например:

$nm<nm+n\Rightarrow nm<n(m+1)\Rightarrow \frac{n}{m+1}<\frac{n}{m};$

Следовательно, такого числа не существует, а значит не существует и наименьшего или наибольшего числа $x$, что и требовалось доказать.

а) Доказать, что в интервале $(8;9)$ нет ни наименьшего, ни наибольшего числа.

Представим данный интервал в виде неравенства:

Пусть $a$ — некоторое число, принадлежащее интервалу $(8;9)$. Тогда можно записать:

$$8<a<9.$$

Это означает, что $a$ принимает значения, строго большие 8 и строго меньшие 9. Нужно доказать, что в этом интервале не существует наименьшего и наибольшего числа.

Допустим, что существует наименьшее или наибольшее число.

Пусть существует наименьшее число $a_{\text{min}}$ в интервале $(8;9)$. Тогда это число будет таким, что для любого $a$ из интервала выполняется неравенство:

$$a_{\text{min}}\le a\text{для всех}a\in (8;9)\mathrm{.}$$

То есть, наименьшее число $a_{\text{min}}$ должно быть таким, что разница $a-a_{\text{min}}$ — положительное число. Положим, что $a_{\text{min}}$ — это наименьшее число в интервале.

Тогда разница $a_{\text{min}}-8$ может быть выражена как дробь:

$$a_{\text{min}}-8=\frac{n}{m},$$

где $\frac{n}{m}$ — наименьшее положительное число, и $n$ и $m$ — целые числа такие, что $n>0$, $m>0$ и $n<m$ (то есть $\frac{n}{m}$ — дробь, меньшая единицы).

Можно всегда найти число, меньшее чем $\frac{n}{m}$.

Рассмотрим следующее выражение:

$$nm<nm+n\Rightarrow nm<n(m+1)\mathrm{.}$$

Это неравенство всегда выполняется, поскольку $m+1$ всегда больше $m$. Таким образом, для любого положительного числа $\frac{n}{m}$ можно найти число $\frac{n}{m+1}$, которое будет меньше $\frac{n}{m}$. То есть всегда можно выбрать такое число, которое будет меньше $a_{\text{min}}$, что противоречит предположению о существовании наименьшего числа в интервале.

Вывод:

Таким образом, не существует наименьшего числа $a_{\text{min}}$, а следовательно, в интервале $(8;9)$ не существует наименьшего числа. Аналогично, можно доказать, что не существует и наибольшего числа, так как, если бы оно существовало, аналогичное рассуждение привело бы к противоречию. Мы приходим к выводу, что в интервале $(8;9)$ нет ни наименьшего, ни наибольшего числа. Это и требовалось доказать.

б) Доказать, что среди чисел, удовлетворяющих неравенству $x^2<5$, нет ни наименьшего, ни наибольшего числа.

Решим данное неравенство.

Мы имеем неравенство:

$$x^2<5.$$

Из этого неравенства можно извлечь корень и записать его в виде:

$$-\sqrt{5}<x<\sqrt{5}\mathrm{.}$$

Это означает, что $x$ может принимать значения между $-\sqrt{5}$ и $\sqrt{5}$, исключая эти два числа. Таким образом, множество чисел, удовлетворяющих этому неравенству, является интервалом $(-\sqrt{5};\sqrt{5})$.

Допустим, что существует наименьшее или наибольшее число.

Пусть существует наименьшее число $x_{\text{min}}$ в интервале $(-\sqrt{5};\sqrt{5})$. Тогда для любого числа $x$ из интервала выполняется:

$$x_{\text{min}}\le x\text{для всех}x\in (-\sqrt{5};\sqrt{5})\mathrm{.}$$

То есть, наименьшее число $x_{\text{min}}$ должно быть таким, что разница $x-x_{\text{min}}$ — положительное число. Пусть это число $x_{\text{min}}$ действительно наименьшее в интервале.

Тогда разница $x_{\text{min}}-(-\sqrt{5})$ может быть выражена как дробь:

$$x_{\text{min}}-(-\sqrt{5})=\frac{n}{m},$$

где $\frac{n}{m}$ — наименьшее положительное число, и $n$ и $m$ — целые числа такие, что $n>0$, $m>0$, и $n<m$ (то есть $\frac{n}{m}$ — дробь, меньшая единицы).

Можно всегда найти число, меньшее чем $\frac{n}{m}$.

Рассмотрим следующее выражение:

$$nm<nm+n\Rightarrow nm<n(m+1)\Rightarrow \frac{n}{m+1}<\frac{n}{m}\mathrm{.}$$

Это неравенство также всегда выполняется, поскольку $m+1$ всегда больше $m$. Таким образом, для любого положительного числа $\frac{n}{m}$ можно найти число $\frac{n}{m+1}$, которое будет меньше $\frac{n}{m}$. То есть, можно выбрать такое число, которое будет меньше $x_{\text{min}}$, что противоречит предположению о существовании наименьшего числа.

Вывод:

Таким образом, не существует наименьшего числа $x_{\text{min}}$, а следовательно, в интервале $(-\sqrt{5};\sqrt{5})$ не существует наименьшего числа. Аналогично, можно доказать, что не существует и наибольшего числа. Этот вывод является следствием аналогичного рассуждения, как и в случае с интервалом $(8;9)$. Мы приходим к выводу, что среди чисел, удовлетворяющих неравенству $x^2<5$, нет ни наименьшего, ни наибольшего числа. Это и требовалось доказать.