ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 4.15 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Число $m$ называют точной нижней границей числового множества $X$, если для любого числа $x \in X$ справедливо неравенство $x \geqslant m$ и для любого числа $\varepsilon > 0$ существует такое число $x_\varepsilon \in X$, что $x_\varepsilon < m + \varepsilon$. Найдите точную нижнюю границу множества $X$, если:

а) $X = [0; 1]$;

б) $X = [0; 1)$;

в) $X = \left\{ x \mid x = \frac{1}{n}, \, n \in \mathbb{N} \right\}$;

г) $X = \left\{ x \mid x = \frac{1 + 5n}{n}, \, n \in \mathbb{N} \right\}$.

Число $m$ является нижней границей числового множества $X$, если для любого числа $x \in X$ справедливо неравенство $x \geq m$ и для любого числа $\varepsilon > 0$ существует такое число $x_\varepsilon \in X$, что $x_\varepsilon < m + \varepsilon$.

а) $X = [0; 1]$:

$$0 \leq x \leq 1 \quad \Rightarrow \quad x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad m = 0;$$ $$\varepsilon > 0 \quad \Rightarrow \quad 0 + \varepsilon > 0;$$ $$x_\varepsilon \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x_\varepsilon < 0 + \varepsilon \quad \Rightarrow \quad x_\varepsilon < m + \varepsilon;$$

Ответ: $0$.

б) $X = [0; 1)$:

$$0 \leq x < 1 \quad \Rightarrow \quad x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad m = 0;$$ $$\varepsilon > 0 \quad \Rightarrow \quad 0 + \varepsilon > 0;$$ $$x_\varepsilon > 0 \quad \Rightarrow \quad x_\varepsilon < 0 + \varepsilon \quad \Rightarrow \quad x_\varepsilon < m + \varepsilon;$$

Ответ: $0$.

в) $X = \left\{ x \mid x = \frac{1}{n}, \, n \in \mathbb{N} \right\}$:

Каждое следующее число меньше предыдущего:

$$\frac{1}{n+1} — \frac{1}{n} = \frac{n — (n+1)}{n(n+1)} = \frac{-1}{n^2 + n} < 0;$$

Разность между любыми числами $x$ меньше единицы ($k > n$):

$$\frac{1}{n} — \frac{1}{k} = \frac{k — n}{nk};$$ $$(k — n) — nk = k — nk — n = k(1 — n) — n < 0;$$ $$k — n < nk \quad \Rightarrow \quad \frac{k — n}{kn} < 1;$$

Значит наименьшее значение $x$:

$$x = \frac{1}{n} — 1 = \frac{1}{1} — 1 = 1 — 1 = 0;$$

Верхняя граница множества $X$:

$$x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad m = 0;$$ $$\varepsilon > 0 \quad \Rightarrow \quad 0 + \varepsilon > 0;$$ $$x_\varepsilon \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x_\varepsilon < 0 + \varepsilon \quad \Rightarrow \quad x_\varepsilon < m + \varepsilon;$$

Ответ: $0$.

г) $X = \left\{ x \mid x = \frac{1 + 5n}{n}, \, n \in \mathbb{N} \right\}$:

Каждое следующее число меньше предыдущего:

$$\frac{1 + 5(n+1)}{n+1} — \frac{1 + 5n}{n} = \frac{(6 + 5n)n — (1 + 5n)(n+1)}{n(n+1)} =$$ $$= \frac{6n + 5n^2 — n — 1 — 5n^2 — 5n}{n(n+1)} = \frac{-1}{n^2 + n} < 0;$$

Разность между любыми числами $x$ меньше единицы ($k > n$):

$$\frac{1 + 5n}{n} — \frac{1 + 5k}{k} = \frac{k(1 + 5n) — n(1 + 5k)}{nk} = \frac{k — n}{nk};$$ $$(k — n) — nk = k — nk — n = k(1 — n) — n < 0;$$ $$k — n < nk \quad \Rightarrow \quad \frac{k — n}{kn} < 1;$$

Значит наименьшее значение $x$:

$$x = \frac{1 + 5n}{n} — 1 = \frac{1 + 5 \cdot 1}{1} — 1 = 1 + 5 — 1 = 5;$$

Верхняя граница множества $X$:

$$x \geq 5 \quad \Rightarrow \quad m = 5;$$ $$\varepsilon > 0 \quad \Rightarrow \quad 5 + \varepsilon > 5;$$ $$x_\varepsilon \geq 5 \quad \Rightarrow \quad x_\varepsilon < 5 + \varepsilon \quad \Rightarrow \quad x_\varepsilon < m + \varepsilon;$$

Ответ: $5$.

Число $m$ является нижней границей числового множества $X$, если для любого числа $x \in X$ справедливо неравенство $x \geq m$, и для любого числа $\varepsilon > 0$ существует такое число $x_\varepsilon \in X$, что $x_\varepsilon < m + \varepsilon$.

а) $X = [0; 1]$

Множество $X$ — это интервал от 0 до 1, включительно. Рассмотрим, является ли число 0 нижней границей для этого множества:

Все элементы множества $X$ удовлетворяют неравенству $0 \leq x \leq 1$, то есть $x \geq 0$ для любого $x \in X$. Следовательно, 0 — нижняя граница множества.

Для любого $\varepsilon > 0$ необходимо найти такое $x_\varepsilon \in X$, что $x_\varepsilon < 0 + \varepsilon$, то есть $x_\varepsilon < \varepsilon$.

• Поскольку $\varepsilon > 0$, существует элемент $x_\varepsilon = \varepsilon/2$, который обязательно принадлежит множеству $X$, потому что $0 \leq \varepsilon/2 \leq 1$.
• Таким образом, $x_\varepsilon < \varepsilon$, что удовлетворяет условию для нижней границы.

Ответ: $m = 0$.

б) $X = [0; 1)$

Множество $X$ — это интервал от 0 до 1, но 1 не включено в это множество. Рассмотрим число 0 как нижнюю границу:

Все элементы множества $X$ удовлетворяют неравенству $0 \leq x < 1$, то есть $x \geq 0$ для любого $x \in X$. Следовательно, 0 — нижняя граница множества.

Для любого $\varepsilon > 0$ необходимо найти такое $x_\varepsilon \in X$, что $x_\varepsilon < 0 + \varepsilon$, то есть $x_\varepsilon < \varepsilon$.

• Поскольку $\varepsilon > 0$, существует элемент $x_\varepsilon = \varepsilon/2$, который принадлежит множеству $X$, потому что $0 \leq \varepsilon/2 < 1$.
• Таким образом, $x_\varepsilon < \varepsilon$, что удовлетворяет условию для нижней границы.

Ответ: $m = 0$.

в) $X = \left\{ x \mid x = \frac{1}{n}, \, n \in \mathbb{N} \right\}$

Множество $X$ состоит из дробей вида $\frac{1}{n}$, где $n \in \mathbb{N}$ (натуральные числа). Рассмотрим, является ли 0 нижней границей для этого множества.

Множество $X = \left\{ \frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots \right\}$, то есть числа вида $\frac{1}{n}$, с каждым увеличением $n$ эти числа уменьшаются, но всегда больше 0. Следовательно, 0 — нижняя граница.

Для любого $\varepsilon > 0$ необходимо найти такое $x_\varepsilon \in X$, что $x_\varepsilon < 0 + \varepsilon$, то есть $x_\varepsilon < \varepsilon$.

• Если $\varepsilon > 0$, то существует элемент множества $X$ с $n$ таким, что $\frac{1}{n} < \varepsilon$. Например, для $n > \frac{1}{\varepsilon}$ верно $\frac{1}{n} < \varepsilon$.
• Таким образом, для любого $\varepsilon > 0$ существует такое $x_\varepsilon = \frac{1}{n}$, что $x_\varepsilon < \varepsilon$, что удовлетворяет условию.

Ответ: $m = 0$.

г) $X = \left\{ x \mid x = \frac{1 + 5n}{n}, \, n \in \mathbb{N} \right\}$

Множество $X$ состоит из чисел вида $x_n = \frac{1 + 5n}{n}$, где $n \in \mathbb{N}$. Рассмотрим, является ли 5 нижней границей для этого множества.

Множество $X = \left\{ \frac{6}{1}, \frac{11}{2}, \frac{16}{3}, \dots \right\}$. С каждым увеличением $n$ элементы множества становятся меньше. Проверим, является ли 5 нижней границей:

• $x_n = \frac{1 + 5n}{n} = 5 + \frac{1}{n}$, то есть $x_n$ всегда больше 5.
• При $n = 1$, $x_1 = \frac{6}{1} = 6$, при $n = 2$, $x_2 = \frac{11}{2} = 5.5$, и так далее. Чем больше $n$, тем ближе $x_n$ к 5.

Для любого $\varepsilon > 0$ необходимо найти такое $x_\varepsilon \in X$, что $x_\varepsilon < 5 + \varepsilon$.

• Для любого $\varepsilon > 0$ существует $x_\varepsilon = 5 + \frac{1}{n}$, которое будет меньше $5 + \varepsilon$, если $n$ достаточно велико. То есть для $n > \frac{1}{\varepsilon}$ выполнено $x_\varepsilon < 5 + \varepsilon$.

Ответ: $m = 5$.

Итог:

• а) $m = 0$
• б) $m = 0$
• в) $m = 0$
• г) $m = 5$