ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 4.18 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Ha числовой прямой отмечены точки A(2a — 6а²) и B(2a — 3). При каких значениях а точка C лежит между A и B, если:

а) C(2);

б) C(-1) ?

На числовой прямой отмечены точки $A(2a — 6a^2)$ и $B(2a — 3)$. При каких значениях $a$ точка $C$ лежит между $A$ и $B$, если:

а) $C(2)$;

Первое неравенство:

$$2a — 6a^2 < 2;$$ $$2a — 6a^2 — 2 < 0;$$ $$3a^2 — a + 1 > 0;$$ $$D = 1^2 — 4 \cdot 3 = 1 — 12 = -11 < 0;$$

$3 > 0$, значит $a$ — любое число;

Второе неравенство:

$$2a — 3 > 2;$$ $$2a > 5;$$ $$a > 2.5;$$

Ответ: $a > 2.5$.

б) $C(-1)$;

Первое неравенство:

$$2a — 6a^2 < -1;$$ $$2a — 6a^2 + 1 < 0;$$ $$6a^2 — 2a — 1 > 0;$$ $$D = 2^2 + 4 \cdot 6 = 4 + 24 = 28 = 4 \cdot 7;$$ $$a = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 6} = \frac{2 \pm 2\sqrt{7}}{2 \cdot 6} = \frac{1 \pm \sqrt{7}}{6};$$ $$\left(a — \frac{1 — \sqrt{7}}{6}\right)\left(a — \frac{1 + \sqrt{7}}{6}\right) > 0;$$ $$a < \frac{1 — \sqrt{7}}{6} \quad \text{и} \quad a > \frac{1 + \sqrt{7}}{6};$$

Второе неравенство:

$$2a — 3 > -1;$$ $$2a > 2;$$ $$a > 1;$$

Обратные неравенства:

$$2a — 6a^2 > -1 \quad \text{и} \quad 2a — 3 < -1;$$ $$\frac{1 — \sqrt{7}}{6} < a < \frac{1 + \sqrt{7}}{6} \quad \text{и} \quad a < 1;$$

Ответ: $\frac{1 — \sqrt{7}}{6} < a < 1; \, a > 1$.

На числовой прямой отмечены точки $A(2a — 6a^2)$ и $B(2a — 3)$. При каких значениях $a$ точка $C$ лежит между $A$ и $B$, если:

а) $C(2)$:

Нам нужно найти такие значения $a$, при которых точка $C(2)$ лежит между точками $A$ и $B$. То есть, точка $C(2)$ должна удовлетворять условию:

$$A < C < B \quad \text{или} \quad B < C < A.$$

Точки $A$ и $B$ на числовой прямой задаются функциями от $a$:

• $A = 2a — 6a^2$
• $B = 2a — 3$

1) Первое неравенство: $A < C$

Нам нужно, чтобы точка $C$ (в данном случае, $C = 2$) была правее точки $A$, то есть:

$$2a — 6a^2 < 2$$

Преобразуем это неравенство:

$$2a — 6a^2 — 2 < 0$$ $$-6a^2 + 2a — 2 < 0$$

Умножим обе части неравенства на $-1$, не меняя знака неравенства (поскольку мы умножаем на отрицательное число):

$$6a^2 — 2a + 2 > 0$$

Теперь анализируем это квадратичное неравенство. Рассмотрим дискриминант (обозначим его как $D$):

$$D = (-2)^2 — 4 \cdot 6 \cdot 2 = 4 — 48 = -44$$

Так как дискриминант отрицателен ($D < 0$), это неравенство не имеет действительных корней, а поскольку ведущий коэффициент $6 > 0$, то квадратичная функция $6a^2 — 2a + 2$ всегда положительна. Таким образом, неравенство $6a^2 — 2a + 2 > 0$ выполняется для всех значений $a$.

Ответ для первого неравенства: Условие $A < C$ выполняется при любом $a$.

2) Второе неравенство: $C < B$

Теперь нам нужно, чтобы точка $C(2)$ была левее точки $B$, то есть:

$$2a — 3 > 2$$

Преобразуем это неравенство:

$$2a > 5$$ $$a > 2.5$$

Ответ для второго неравенства: Условие $C < B$ выполняется, если $a > 2.5$.

Итог:

Для того чтобы точка $C(2)$ лежала между точками $A$ и $B$, должно выполняться два неравенства:

1. $A < C$ всегда выполняется для любых значений $a$.
2. $C < B$ выполняется, если $a > 2.5$.

Ответ: $a > 2.5$.

б) $C(-1)$:

Теперь найдём такие значения $a$, при которых точка $C(-1)$ лежит между точками $A$ и $B$. То есть, точка $C(-1)$ должна удовлетворять условию:

$$A < C < B \quad \text{или} \quad B < C < A.$$

Точки $A$ и $B$ на числовой прямой снова задаются функциями от $a$:

• $A = 2a — 6a^2$
• $B = 2a — 3$

1) Первое неравенство: $A < C$

Нам нужно, чтобы точка $C(-1)$ была правее точки $A$, то есть:

$$2a — 6a^2 < -1$$

Преобразуем это неравенство:

$$2a — 6a^2 + 1 < 0$$ $$-6a^2 + 2a + 1 < 0$$

Умножим обе части на $-1$, чтобы избавиться от отрицательного знака при ведущем коэффициенте:

$$6a^2 — 2a — 1 > 0$$

Теперь решим это неравенство. Рассмотрим дискриминант (обозначим его как $D$):

$$D = (-2)^2 — 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 4 + 24 = 28$$

Корни этого квадратного уравнения можно найти по формуле:

$$a = \frac{-(-2) \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 6} = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{12}$$

Значения корней:

$$a = \frac{2 \pm 2\sqrt{7}}{12} = \frac{1 \pm \sqrt{7}}{6}$$

Таким образом, неравенство $6a^2 — 2a — 1 > 0$ можно представить как:

$$\left(a — \frac{1 — \sqrt{7}}{6}\right)\left(a — \frac{1 + \sqrt{7}}{6}\right) > 0$$

Это неравенство выполняется, когда:

$$a < \frac{1 — \sqrt{7}}{6} \quad \text{или} \quad a > \frac{1 + \sqrt{7}}{6}$$

2) Второе неравенство: $C < B$

Теперь нам нужно, чтобы точка $C(-1)$ была левее точки $B$, то есть:

$$2a — 3 > -1$$

Преобразуем это неравенство:

$$2a > 2$$ $$a > 1$$

Ответ для второго неравенства: Условие $C < B$ выполняется, если $a > 1$.

3) Обратные неравенства:

Нам нужно учесть оба условия одновременно: $A < C$ и $C < B$. Это можно записать в виде двух систем неравенств:

1. $2a — 6a^2 > -1 \quad \text{и} \quad 2a — 3 < -1$,
2. $\frac{1 — \sqrt{7}}{6} < a < \frac{1 + \sqrt{7}}{6} \quad \text{и} \quad a < 1$.

Ответ: $\frac{1 — \sqrt{7}}{6} < a < 1$ и $a > 1$.