ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 4.2 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решить уравнение, определить наибольший и наименьший корни и расстояние между ними:

а) $(x-1{)}^2(31x-37)(41x-49)=0$;

б) $(x-1{)}^2(31x-37)(41x-49)=(31x-37)(41x-49)$

Решить уравнение, определить наибольший и наименьший корни и расстояние между ними;

а) $(x-1{)}^2(31x-37)(41x-49)=0$;

Корни уравнения:

• $x-1=0$, отсюда $x=1$;
• $31x-37=0$, отсюда $x=\frac{37}{31}=1\frac{6}{31}$;
• $41x-49=0$, отсюда $x=\frac{49}{41}=1\frac{8}{41}$;

Искомые величины:

• $\frac{49}{41}-\frac{37}{31}=\frac{49\cdot 31-37\cdot 41}{41\cdot 31}=\frac{1519-1517}{1271}=\frac{2}{1271}>0$;
• $x_{\text{max}}=1\frac{8}{41}$ и $x_{\text{min}}=1$;
• $\mathrm{\Delta }=1\frac{8}{41}-1=\frac{8}{41}$;

б) $(x-1{)}^2(31x-37)(41x-49)=(31x-37)(41x-49)$;

• $(31x-37)(41x-49)((x-1{)}^2-1)=0$;
• $(31x-37)(41x-49)(x^2-2x)=0$;
• $(31x-37)(41x-49)(x-2)x=0$;

Корни уравнения:

• $31x-37=0$, отсюда $x=\frac{37}{31}=1\frac{6}{31}$;
• $41x-49=0$, отсюда $x=\frac{49}{41}=1\frac{8}{41}$;
• $x-2=0$, отсюда $x=2$;
• $x=0$;

Искомые величины:

• $x_{\text{max}}=2$ и $x_{\text{min}}=0$;
• $\mathrm{\Delta }=2-0=2$

а)

Уравнение:

$$(x — 1)^2 (31x — 37)(41x — 49) = 0$$

Нахождение корней уравнения.

Для того чтобы найти корни уравнения, приравняем каждое из множителей к нулю, так как произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Первый множитель: $(x — 1)^2 = 0$

• Из этого множителя получаем:

  $$x — 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1$$

  Этот корень кратности 2, так как выражение возводится в квадрат.

Второй множитель: $31x — 37 = 0$

• Для нахождения корня приравниваем выражение к нулю:

  $$31x — 37 = 0 \quad \Rightarrow \quad 31x = 37 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{37}{31} = 1 \frac{6}{31}$$

  Это рациональный корень.

Третий множитель: $41x — 49 = 0$

• Для нахождения корня приравниваем выражение к нулю:

  $$41x — 49 = 0 \quad \Rightarrow \quad 41x = 49 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{49}{41} = 1 \frac{8}{41}$$

  Это также рациональный корень.

Итак, корни уравнения:

$$x = 1 \quad (кратность 2), \quad x = 1 \frac{6}{31}, \quad x = 1 \frac{8}{41}$$

Нахождение наибольшего и наименьшего корня, а также расстояния между ними.

• Наибольший корень — это тот, который имеет наибольшее значение среди всех найденных корней.
  Мы сравниваем:

  $$1 \frac{6}{31} \approx 1.193548 \quad \text{и} \quad 1 \frac{8}{41} \approx 1.195122$$

  Следовательно, наибольший корень:

  $$x_{\text{max}} = 1 \frac{8}{41}$$

• Наименьший корень — это тот, который имеет наименьшее значение среди всех найденных корней.
  Мы видим, что наименьший корень:

  $$x_{\text{min}} = 1$$

• Расстояние между наибольшим и наименьшим корнем:

  $$\Delta = x_{\text{max}} — x_{\text{min}} = 1 \frac{8}{41} — 1 = \frac{8}{41}$$

  Таким образом, расстояние между наибольшим и наименьшим корнем равно:

  $$\Delta = \frac{8}{41}$$

б)

Уравнение:

$$(x — 1)^2 (31x — 37)(41x — 49) = (31x — 37)(41x — 49)$$

Приведение уравнения к более простому виду.

Переносим все выражения на одну сторону:

$$(x — 1)^2 (31x — 37)(41x — 49) — (31x — 37)(41x — 49) = 0$$

Вынесем общий множитель $(31x — 37)(41x — 49)$:

$$(31x — 37)(41x — 49)\left( (x — 1)^2 — 1 \right) = 0$$

Теперь, у нас есть произведение трех множителей. Чтобы уравнение было равно нулю, хотя бы один из множителей должен быть равен нулю.

Первый множитель: $(31x — 37) = 0$

• Решаем это как в предыдущей части:

  $$31x — 37 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{37}{31} = 1 \frac{6}{31}$$

  Это один из корней.

Второй множитель: $(41x — 49) = 0$

• Решаем это как в предыдущей части:

  $$41x — 49 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{49}{41} = 1 \frac{8}{41}$$

  Это второй корень.

Третий множитель: $(x — 1)^2 — 1 = 0$

• Упростим это выражение:

  $$(x — 1)^2 — 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad (x — 1)^2 = 1$$

  Извлекаем квадратный корень:

  $$x — 1 = \pm 1$$

  Тогда:

  $$x = 1 + 1 = 2 \quad \text{или} \quad x = 1 — 1 = 0$$

  Таким образом, третьим и четвертым корнями являются $x = 2$ и $x = 0$.

Итак, корни уравнения:

$$x = 1 \frac{6}{31}, \quad x = 1 \frac{8}{41}, \quad x = 2, \quad x = 0$$

Нахождение наибольшего и наименьшего корня, а также расстояния между ними.

• Наибольший корень:

  $$x_{\text{max}} = 2$$

• Наименьший корень:

  $$x_{\text{min}} = 0$$

• Расстояние между наибольшим и наименьшим корнем:

  $$\Delta = x_{\text{max}} — x_{\text{min}} = 2 — 0 = 2$$

Ответы:

а):

• Наибольший корень: $x_{\text{max}} = 1 \frac{8}{41}$
• Наименьший корень: $x_{\text{min}} = 1$
• Расстояние между корнями: $\Delta = \frac{8}{41}$

б):

• Наибольший корень: $x_{\text{max}} = 2$
• Наименьший корень: $x_{\text{min}} = 0$
• Расстояние между корнями: $\Delta = 2$