ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 4.20 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Расположите на числовой прямой числа $a$, $b$, $0$, если:

а)

$$\begin{cases} ab < 0, \\ a + b < 0; \end{cases}$$

в)

$$\begin{cases} ab < 0, \\ a + b > 0; \end{cases}$$

б)

$$\begin{cases} ab > 0, \\ a + b > 0; \end{cases}$$

г)

$$\begin{cases} ab > 0, \\ a + b < 0. \end{cases}$$

Расположить на числовой прямой числа $a, b, 0$, если:

а)

$$\begin{cases} ab < 0 \\ a + b < 0 \end{cases}$$

Первый случай:
$a < 0$ и $b > 0$;
$a + b < 0$, значит $|a| > |b|$;

Второй случай:
$a > 0$ и $b < 0$;
$a + b < 0$, значит $|a| < |b|$;

б)

$$\begin{cases} ab > 0 \\ a + b > 0 \end{cases}$$

$ab > 0$, значит

$$\begin{cases} a > 0 \\ b > 0 \end{cases}$$

или

$$\begin{cases} a < 0 \\ b < 0 \end{cases}$$

но $a + b > 0$, значит $a > 0$ и $b > 0$;

Первый случай:
$|a| > |b|$;

Второй случай:
$|a| < |b|$;

в)

$$\begin{cases} ab < 0 \\ a + b > 0 \end{cases}$$

Первый случай:
$a < 0$ и $b > 0$;
$a + b > 0$, значит $|a| < |b|$;

Второй случай:
$a > 0$ и $b < 0$;
$a + b > 0$, значит $|a| > |b|$;

г)

$$\begin{cases} ab > 0 \\ a + b < 0 \end{cases}$$

$ab > 0$, значит

$$\begin{cases} a > 0 \\ b > 0 \end{cases}$$

или

$$\begin{cases} a < 0 \\ b < 0 \end{cases}$$

но $a + b < 0$, значит $a < 0$ и $b < 0$;

Первый случай:
$|a| > |b|$;

Второй случай:
$|a| < |b|$;

Расположить на числовой прямой числа $a$, $b$, $0$, если выполняются следующие условия.

Часть а):

$$\begin{cases} ab < 0 \\ a + b < 0 \end{cases}$$

1) Первый случай: $a < 0$ и $b > 0$

В данном случае, выполняется условие $ab < 0$, что означает, что одно число обязательно положительное, а другое — отрицательное.

• Если $a < 0$, а $b > 0$, то произведение $ab$ будет отрицательным, что соответствует нашему условию $ab < 0$.

Теперь, рассмотрим второе неравенство:

$$a + b < 0$$

• Поскольку $a$ отрицательное, а $b$ положительное, для того чтобы сумма была отрицательной, модуль $a$ должен быть больше модуля $b$. То есть, $|a| > |b|$.

График:

На графике мы видим, что $a$ находится левее, чем $b$, и поскольку $|a| > |b|$, точка $a$ будет дальше от 0, чем точка $b$.

2) Второй случай: $a > 0$ и $b < 0$

Здесь также выполняется условие $ab < 0$, так как одно из чисел положительное, а другое — отрицательное. Теперь рассмотрим второе неравенство:

$$a + b < 0$$

• Поскольку $a > 0$ и $b < 0$, для того чтобы их сумма была отрицательной, необходимо, чтобы $|a| < |b|$, то есть модуль $a$ должен быть меньше модуля $b$.

График:

На графике точка $a$ будет справа от 0, а точка $b$ — слева от 0. В этом случае $|a| < |b|$, поэтому точка $a$ будет ближе к 0, чем точка $b$.

Часть б):

$$\begin{cases} ab > 0 \\ a + b > 0 \end{cases}$$

Условие $ab > 0$:

Это условие говорит о том, что оба числа либо оба положительные, либо оба отрицательные. Рассмотрим оба варианта.

1. Если оба числа положительные: $a > 0$ и $b > 0$.
2. Если оба числа отрицательные: $a < 0$ и $b < 0$.

Давайте теперь рассмотрим второе неравенство:

$$a + b > 0$$

• Для того чтобы сумма $a + b$ была больше нуля, при обоих положительных $a$ и $b$, не возникает никаких ограничений, потому что сумма положительных чисел всегда больше нуля.
• Если оба числа отрицательные, то для выполнения неравенства $a + b > 0$, сумма двух отрицательных чисел не может быть положительной. Это исключает возможность того, чтобы оба числа были отрицательными.

Таким образом, остаётся только вариант, что $a > 0$ и $b > 0$.

1) Первый случай: $|a| > |b|$

В этом случае число $a$ больше по модулю, чем $b$, то есть точка $a$ будет дальше от нуля, чем точка $b$.

График:

На графике точка $a$ будет расположена правее точки $b$, так как $|a| > |b|$.

2) Второй случай: $|a| < |b|$

Здесь наоборот, число $b$ больше по модулю, чем $a$, то есть точка $b$ будет расположена дальше от 0, чем точка $a$.

График:

На графике точка $b$ будет находиться правее точки $a$.

Часть в):

$$\begin{cases} ab < 0 \\ a + b > 0 \end{cases}$$

1) Первый случай: $a < 0$ и $b > 0$

В данном случае $ab < 0$, что означает, что одно из чисел отрицательное, а другое — положительное. Теперь рассмотрим второе неравенство:

$$a + b > 0$$

• Поскольку $a < 0$ и $b > 0$, для того чтобы их сумма была больше нуля, необходимо, чтобы $|a| < |b|$, то есть модуль $a$ должен быть меньше модуля $b$.

График:

На графике точка $a$ будет слева от нуля, а точка $b$ — справа от нуля. Модуль $a$ меньше модуля $b$, то есть точка $a$ будет ближе к нулю, чем точка $b$.

2) Второй случай: $a > 0$ и $b < 0$

Здесь $ab < 0$, так как одно число положительное, а другое — отрицательное. Теперь рассмотрим второе неравенство:

$$a + b > 0$$

• Поскольку $a > 0$ и $b < 0$, для того чтобы их сумма была больше нуля, необходимо, чтобы $|a| > |b|$, то есть модуль $a$ должен быть больше модуля $b$.

График:

На графике точка $a$ будет правее, чем точка $b$, и точка $a$ будет находиться дальше от 0, чем точка $b$, так как $|a| > |b|$.

Часть г):

$$\begin{cases} ab > 0 \\ a + b < 0 \end{cases}$$

Условие $ab > 0$:

Это условие говорит о том, что оба числа либо оба положительные, либо оба отрицательные. Рассмотрим оба варианта.

1. Если оба числа положительные: $a > 0$ и $b > 0$.
2. Если оба числа отрицательные: $a < 0$ и $b < 0$.

Теперь рассматриваем второе неравенство:

$$a + b < 0$$

• Если оба числа положительные, то их сумма не может быть отрицательной, следовательно, этот случай исключается.
• Если оба числа отрицательные, то их сумма будет отрицательной, что соответствует нашему неравенству $a + b < 0$.

Таким образом, только вариант, когда оба числа отрицательные, удовлетворяет этим условиям.

1) Первый случай: $|a| > |b|$

Здесь $|a|$ больше $|b|$, то есть точка $a$ будет дальше от нуля, чем точка $b$.

График:

На графике точка $a$ будет слева от точки $b$, и точка $a$ будет дальше от 0, чем точка $b$.

2) Второй случай: $|a| < |b|$

Здесь $|a|$ меньше $|b|$, то есть точка $b$ будет дальше от нуля, чем точка $a$.

График:

На графике точка $b$ будет расположена левее, чем точка $a$, и точка $b$ будет находиться дальше от 0, чем точка $a$.