ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 4.4 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Существует ли геометрическая прогрессия, все члены ко торой различны и расположены на отрезке:

a) [1; 2];

б) [1; 1,2]?

Существует ли геометрическая прогрессия, все члены которой различны и расположены на отрезке:

а) [1; 2];

Все члены прогрессии различны, значит ее знаменатель не может быть равен единице: $q \neq 1$;

Все члены прогрессии лежат на отрезке [1; 2], а значит все они положительны, то есть: $1 \leq b_1 \leq 2$ и $q > 0$;

Если $0 < q < 1$, тогда:

Любое положительное число $m$ при умножении на $q$ уменьшается:

$$q < 1 \quad \Rightarrow \quad q \cdot m < m;$$

Значит число $q^{n-1}$ при сколь угодно большом значении $n$, может быть сколь угодно малым, в том числе существует число $n$, для которого:

$$q^{n-1} < 0,25;$$ $$b_1 \cdot q^{n-1} < 2 \cdot 0,25;$$ $$b_n < 0,5;$$

Если $q > 1$, тогда:

Любое положительное число $m$ при умножении на $q$ увеличивается:

$$q > 1 \quad \Rightarrow \quad q \cdot m > m;$$

Значит, число $q^{n-1}$ при сколь угодно большом значении $n$ может быть сколь угодно большим, в том числе существует число $n$, для которого:

$$q^{n-1} > 4;$$ $$b_1 \cdot q^{n-1} > 1 \cdot 4;$$ $$b_n > 4;$$

Таким образом, невозможно составить геометрическую прогрессию, в которой все члены различны и лежат на отрезке [1; 2].

Ответ: нельзя.

б) [1; 1,2];

Все члены прогрессии различны, значит ее знаменатель не может быть равен единице: $q \neq 1$;

Все члены прогрессии лежат на отрезке [1; 1,2], а значит все они положительны, то есть: $1 \leq b_1 \leq 1,2$ и $q > 0$;

Если $0 < q < 1$, тогда:

Любое положительное число $m$ при умножении на $q$ уменьшается:

$$q < 1 \quad \Rightarrow \quad q \cdot m < m;$$

Значит число $q^{n-1}$ при сколь угодно большом значении $n$, может быть сколь угодно малым, в том числе существует число $n$, для которого:

$$q^{n-1} < 0,5;$$ $$b_1 \cdot q^{n-1} < 1,2 \cdot 0,5;$$ $$b_n < 0,6;$$

Если $q > 1$, тогда:

Любое положительное число $m$ при умножении на $q$ увеличивается:

$$q > 1 \quad \Rightarrow \quad q \cdot m > m;$$

Значит число $q^{n-1}$ при сколь угодно большом значении $n$, может быть сколь угодно большим, в том числе существует число $n$, для которого:

$$q^{n-1} > 2;$$ $$b_1 \cdot q^{n-1} > 1 \cdot 2;$$ $$b_n > 2;$$

Таким образом, невозможно составить геометрическую прогрессию, в которой все члены различны и лежат на отрезке [1; 1,2].

Ответ: нельзя.

Существует ли геометрическая прогрессия, все члены которой различны и расположены на отрезке:

а) [1; 2];

Для решения задачи, рассмотрим геометрическую прогрессию, все члены которой расположены на отрезке $[1; 2]$.

1) Ограничения для знаменателя прогрессии

Вначале определим условия, которым должен удовлетворять знаменатель прогрессии. Пусть $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — знаменатель прогрессии.

Геометрическая прогрессия имеет вид:

$$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}, \quad n = 1, 2, 3, \dots$$

где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — знаменатель прогрессии.

Условие, что все члены прогрессии различны, накладывает ограничение на $q$, а именно: знаменатель прогрессии не может быть равен единице, так как в этом случае все члены прогрессии будут одинаковыми (все будут равны $b_1$).
Таким образом, первое условие:

$$q \neq 1.$$

2) Положительность всех членов прогрессии

Задача предполагает, что все члены прогрессии расположены на отрезке $[1; 2]$, то есть каждый $b_n$ должен удовлетворять условию:

$$1 \leq b_n \leq 2.$$

Так как все члены прогрессии положительны, то первый член $b_1$ также должен быть положительным, и, следовательно:

$$1 \leq b_1 \leq 2.$$

Кроме того, так как $b_1$ положителен, то знаменатель прогрессии также должен быть положительным, то есть:

$$q > 0.$$

Таким образом, для каждого члена прогрессии выполняется неравенство:

$$1 \leq b_1 \cdot q^{n-1} \leq 2, \quad n = 1, 2, 3, \dots$$

3) Рассмотрим случай, когда $0 < q < 1$

Если знаменатель прогрессии $q$ лежит в интервале $0 < q < 1$, то каждый следующий член прогрессии будет меньше предыдущего, то есть прогрессия убывает. Рассмотрим, что происходит с членами прогрессии при таком значении $q$.

Для любого $m > 0$, умножив его на $q$, мы получим число меньше, чем $m$:

$$q < 1 \quad \Rightarrow \quad q \cdot m < m.$$

Это означает, что $q^{n-1}$ при сколь угодно большом $n$ может стать сколь угодно малым. Например, при достаточно большом $n$, $q^{n-1}$ может стать меньше $0,25$:

$$q^{n-1} < 0,25.$$

Теперь подставим это значение в выражение для $b_n$:

$$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}.$$

Так как $b_1 \leq 2$, получаем:

$$b_n < 2 \cdot 0,25 = 0,5.$$

Таким образом, при $0 < q < 1$ существующие члены прогрессии могут стать меньше 0,5, что противоречит условию, что все члены прогрессии должны лежать на отрезке $[1; 2]$.

4) Рассмотрим случай, когда $q > 1$

Если $q > 1$, то прогрессия возрастает, то есть каждый следующий член будет больше предыдущего. Рассмотрим, что происходит с членами прогрессии при таком значении $q$.

Для любого положительного числа $m$ умножение на $q$, большее единицы, приведет к увеличению числа:

$$q > 1 \quad \Rightarrow \quad q \cdot m > m.$$

Это означает, что $q^{n-1}$ при сколь угодно большом $n$ может стать сколь угодно большим. Например, при достаточно большом $n$, $q^{n-1}$ может стать больше 4:

$$q^{n-1} > 4.$$

Теперь подставим это значение в выражение для $b_n$:

$$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}.$$

Так как $b_1 \geq 1$, получаем:

$$b_n > 1 \cdot 4 = 4.$$

Таким образом, при $q > 1$ существующие члены прогрессии могут превысить 4, что также противоречит условию, что все члены прогрессии должны лежать на отрезке $[1; 2]$.

5) Вывод

Мы рассмотрели оба возможных случая для значения $q$ — $0 < q < 1$ и $q > 1$, и в обоих случаях получаем, что геометрическая прогрессия с таким знаменателем не может удовлетворять условиям задачи, так как некоторые члены прогрессии будут выходить за пределы отрезка $[1; 2]$.

Таким образом, ответ на задачу: невозможно составить геометрическую прогрессию, в которой все члены различны и лежат на отрезке $[1; 2]$.

Ответ: нельзя.

б) [1; 1,2];

Аналогично предыдущей задаче, рассмотрим геометрическую прогрессию, все члены которой расположены на отрезке $[1; 1,2]$.

1) Ограничения для знаменателя прогрессии

Аналогично предыдущему пункту, знаменатель прогрессии не может быть равен единице, иначе все члены прогрессии будут одинаковыми. То есть:

$$q \neq 1.$$

2) Положительность всех членов прогрессии

Все члены прогрессии лежат на отрезке $[1; 1,2]$, что накладывает следующие ограничения:

$$1 \leq b_n \leq 1,2.$$

Кроме того, так как прогрессия положительная, то первый член $b_1$ должен быть положительным, а знаменатель прогрессии — положительным:

$$1 \leq b_1 \leq 1,2 \quad \text{и} \quad q > 0.$$

3) Рассмотрим случай, когда $0 < q < 1$

Если $q$ лежит в интервале $0 < q < 1$, то прогрессия убывает. Рассмотрим, что происходит с членами прогрессии.

Для любого положительного числа $m$, умножив его на $q$, получаем число, меньшее, чем $m$:

$$q < 1 \quad \Rightarrow \quad q \cdot m < m.$$

Таким образом, $q^{n-1}$ при сколь угодно большом $n$ может быть сколь угодно малым. Например, при достаточно большом $n$, $q^{n-1}$ может стать меньше 0,5:

$$q^{n-1} < 0,5.$$

Теперь подставим это значение в выражение для $b_n$:

$$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}.$$

Так как $b_1 \leq 1,2$, получаем:

$$b_n < 1,2 \cdot 0,5 = 0,6.$$

Это означает, что при $0 < q < 1$ прогрессия будет принимать значения меньше 0,6, что противоречит условию, что все члены прогрессии должны лежать на отрезке $[1; 1,2]$.

4) Рассмотрим случай, когда $q > 1$

Если $q > 1$, то прогрессия возрастает. Рассмотрим, что происходит с членами прогрессии.

Для любого положительного числа $m$ умножение на $q$, большее единицы, приведет к увеличению числа:

$$q > 1 \quad \Rightarrow \quad q \cdot m > m.$$

Таким образом, $q^{n-1}$ при сколь угодно большом $n$ может стать сколь угодно большим. Например, при достаточно большом $n$, $q^{n-1}$ может стать больше 2:

$$q^{n-1} > 2.$$

Теперь подставим это значение в выражение для $b_n$:

$$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}.$$

Так как $b_1 \geq 1$, получаем:

$$b_n > 1 \cdot 2 = 2.$$

Это означает, что при $q > 1$ прогрессия будет принимать значения больше 2, что противоречит условию, что все члены прогрессии должны лежать на отрезке $[1; 1,2]$.

5) Вывод

Аналогично предыдущему случаю, мы получили, что и в данном случае геометрическая прогрессия с любым возможным знаменателем $q$ не может удовлетворять условиям задачи, так как некоторые члены прогрессии будут выходить за пределы отрезка $[1; 1,2]$.

Таким образом, ответ на задачу: невозможно составить геометрическую прогрессию, в которой все члены различны и лежат на отрезке $[1; 1,2]$.

Ответ: нельзя.